Докажите, что функция, заданная формулой y=(2x−5)(3+8x)−(1−4x)2, линейная. Принадлежит ли графику этой функции точка A(−1;10); точка B(0;16)?
Краткое решение
y=(2x−5)(3+8x)−(1−4x)2= =(6x+16x2−15−40x)−(1−8x+16x2)= =6x+16x2−15−40x−1+8x−16x2= =−26x−16 - линейная функция. 1)A(−1;10) — принадлежит графику.
10=−26⋅(−1)−16 10=26−16 10=10 - верно. 2)B(0;16) — не принадлежит графику.
16=−26⋅0−16 16=−16 - неверно. Подробное решение
📚 Теория: Линейная функция
Функция называется линейной, если она может быть задана формулой вида y=kx+b, где k и b — некоторые числа. Чтобы проверить, проходит ли график через точку, нужно подставить её координаты в уравнение функции: если равенство верно, точка лежит на графике.
1. Упрощение выражения
Для доказательства того, что функция линейная, раскроем скобки. Сначала перемножим многочлены, а затем применим формулу квадрата разности:
y=6x+16x2−15−40x−(1−8x+16x2) При раскрытии вторых скобок меняем знаки, так как перед ними стоит минус:
y=16x2−34x−15−1+8x−16x2 Приводим подобные слагаемые. Квадраты 16x2 и −16x2 взаимно уничтожаются:
y=−26x−16 Так как мы получили выражение вида y=kx+b, функция является линейной.
2. Проверка точки A(-1; 10)
Подставим x=−1 в полученную формулу:
y=−26⋅(−1)−16=26−16=10 Полученное значение y совпадает с ординатой точки A. Значит, точка принадлежит графику.
3. Проверка точки B(0; 16)
Подставим x=0 в формулу:
y=−26⋅0−16=−16 Полученное значение −16 не равно 16. Значит, точка B не принадлежит графику.
