Номер 1016 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Представьте в виде многочлена:

(a (a + 2 b) + b^{2}) (a (a - 2 b) + b^{2}) ((a^{2} - b^{2})^{2} + 4 a^{2} b^{2})

Краткое решение

(a (a + 2 b) + b^{2}) (a (a - 2 b) + b^{2}) ((a^{2} - b^{2})^{2} + 4 a^{2} b^{2}) =

= (a^{2} + 2 ab + b^{2}) (a^{2} - 2 ab + b^{2}) ((a^{2})^{2} - 2 a^{2} b^{2} + (b^{2})^{2} + 4 a^{2} b^{2}) =

= (a + b)^{2} (a - b)^{2} ((a^{2})^{2} + 2 a^{2} b^{2} + (b^{2})^{2}) =

= ((a + b) (a - b))^{2} (a^{2} + b^{2})^{2} =

= (a^{2} - b^{2})^{2} (a^{2} + b^{2})^{2} =

= ((a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2}))^{2} =

= ((a^{2})^{2} - (b^{2})^{2})^{2} = (a^{4} - b^{4})^{2} =

= (a^{4})^{2} - 2 a^{4} b^{4} + (b^{4})^{2} =

= a^{8} - 2 a^{4} b^{4} + b^{8} .

Подробное решение

📚 Теория: Формулы сокращенного умножения

Для упрощения этого выражения используются три основные формулы:
1. Квадрат суммы/разности: $(x \pm y)^{2} = x^{2} \pm 2 x y + y^{2}$ .
2. Разность квадратов: $(x - y) (x + y) = x^{2} - y^{2}$ .
3. Возведение степени в степень: $(a^{n})^{m} = a^{nm}$ .

Решим задачу, последовательно упрощая группы множителей:

1. Преобразование первых двух скобок:

Раскроем внутренние скобки и заметим полные квадраты:

a (a + 2 b) + b^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}

a (a - 2 b) + b^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}

Их произведение дает: $(a + b)^{2} (a - b)^{2} = ((a + b) (a - b))^{2} = (a^{2} - b^{2})^{2}$ .

2. Упрощение третьей скобки:

Раскроем квадрат разности внутри скобки и приведем подобные слагаемые:

(a^{2} - b^{2})^{2} + 4 a^{2} b^{2} = a^{4} - 2 a^{2} b^{2} + b^{4} + 4 a^{2} b^{2} = a^{4} + 2 a^{2} b^{2} + b^{4}

Полученное выражение сворачивается в квадрат суммы: $(a^{2} + b^{2})^{2}$ .

3. Итоговое умножение:

Теперь перемножим результаты двух этапов:

(a^{2} - b^{2})^{2} (a^{2} + b^{2})^{2} = ((a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2}))^{2} = (a^{4} - b^{4})^{2}

Раскрываем последний квадрат разности:

(a^{4})^{2} - 2 \cdot a^{4} \cdot b^{4} + (b^{4})^{2} = a^{8} - 2 a^{4} b^{4} + b^{8}

Ответ: $a^{8} - 2 a^{4} b^{4} + b^{8}$ .

Номер 1016 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Краткое решение

Подробное решение

📚 Теория: Формулы сокращенного умножения

💡 Соседние задачи

🕒 Вы недавно смотрели