Найдите значение выражения:
- а) (y+5)(y2−5y+25)−y(y2+3) при y=−2;
- б) x(x+3)2−(x−1)(x2+x+1) при x=−4;
- в) (2p−1)(4p2+2p+1)−p(p−1)(p+1) при p=1,5.
Краткое решение
а) (y+5)(y2−5y+25)−y(y2+3)=y3+125−y3−3y=125−3y.
При y=−2:125−3⋅(−2)=125+6=131.
б) x(x+3)2−(x−1)(x2+x+1)=x(x2+6x+9)−(x3−1)=x3+6x2+9x−x3+1=6x2+9x+1.
При x=−4:6⋅(−4)2+9⋅(−4)+1=96−36+1=61.
в) (2p−1)(4p2+2p+1)−p(p−1)(p+1)=(8p3−1)−p(p2−1)=8p3−1−p3+p=7p3+p−1.
При p=1,5:7⋅(1,5)3+1,5−1=7⋅3,375+0,5=23,625+0,5=24,125.
Подробное решение
📚 Теория: Формулы суммы и разности кубов
Для упрощения используются формулы:
1. Сумма кубов: (a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3.
2. Разность кубов: (a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3.
3. Квадрат суммы: (a+b)2=a2+2ab+b2.
Пункт а)
1. Первые две скобки сворачиваются в сумму кубов: y3+53=y3+125.
2. Раскрываем вторую часть выражения: −y⋅y2−y⋅3=−y3−3y.
3. Упрощаем: y3+125−y3−3y=125−3y.
4. Подставляем y=−2: 125−3⋅(−2)=125+6=131.
Пункт б)
1. Раскрываем квадрат суммы: x(x2+6x+9)=x3+6x2+9x.
2. Вторая часть — это разность кубов: (x−1)(x2+x+1)=x3−1.
3. Вычитаем: x3+6x2+9x−(x3−1)=x3+6x2+9x−x3+1=6x2+9x+1.
4. Подставляем x=−4: 6⋅(−4)2+9⋅(−4)+1=6⋅16−36+1=96−36+1=61.
Пункт в)
1. Первая часть сворачивается в разность кубов: (2p)3−13=8p3−1.
2. Вторая часть — разность квадратов, умноженная на p: p(p2−1)=p3−p.
3. Упрощаем: 8p3−1−(p3−p)=8p3−1−p3+p=7p3+p−1.
4. Подставляем p=1,5: 7⋅1,53+1,5−1=7⋅3,375+0,5=23,625+0,5=24,125.
