Номер 1020 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

В книге Леонарда Эйлера (XVIII в.) используется тождество:

(p^{2} + c q^{2}) (r^{2} + c s^{2}) = (p r + c q s)^{2} + c (p s - q r)^{2}

Докажите его.

Краткое решение

(p^{2} + c q^{2}) (r^{2} + c s^{2}) = (p r + c q s)^{2} + c (p s - q r)^{2}

p^{2} r^{2} + c p^{2} s^{2} + c q^{2} r^{2} + c^{2} q^{2} s^{2} = p^{2} r^{2} + 2 c p r q s + c^{2} q^{2} s^{2} + c (p^{2} s^{2} - 2 p s q r + q^{2} r^{2})

p^{2} r^{2} + c p^{2} s^{2} + c q^{2} r^{2} + c^{2} q^{2} s^{2} = p^{2} r^{2} + 2 c p r q s + c^{2} q^{2} s^{2} + c p^{2} s^{2} - 2 c p r q s + c q^{2} r^{2}

p^{2} r^{2} + c p^{2} s^{2} + c q^{2} r^{2} + c^{2} q^{2} s^{2} = p^{2} r^{2} + c p^{2} s^{2} + c q^{2} r^{2} + c^{2} q^{2} s^{2}

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство тождеств

Для доказательства тождества мы преобразуем левую и правую части выражения независимо друг от друга. Если результаты упрощения в обеих частях совпадают, тождество считается доказанным.

1. Преобразование левой части

Выполним почленное умножение двух многочленов:

(p^{2} + c q^{2}) (r^{2} + c s^{2}) = p^{2} \cdot r^{2} + p^{2} \cdot c s^{2} + c q^{2} \cdot r^{2} + c q^{2} \cdot c s^{2} =

= p^{2} r^{2} + c p^{2} s^{2} + c q^{2} r^{2} + c^{2} q^{2} s^{2}

2. Преобразование правой части

Раскроем квадраты суммы и разности, затем умножим второе выражение на коэффициент $c$ :

(p r + c q s)^{2} + c (p s - q r)^{2} = p^{2} r^{2} + 2 c p r q s + c^{2} q^{2} s^{2} + c (p^{2} s^{2} - 2 p s q r + q^{2} r^{2}) =

= p^{2} r^{2} + 2 c p r q s + c^{2} q^{2} s^{2} + c p^{2} s^{2} - 2 c pq rs + c q^{2} r^{2}

Удвоенные произведения $2 c p r q s$ и $- 2 c pq rs$ имеют одинаковые переменные и противоположные знаки, поэтому они взаимно уничтожаются:

p^{2} r^{2} + c^{2} q^{2} s^{2} + c p^{2} s^{2} + c q^{2} r^{2}

3. Сравнение результатов

Левая часть: $p^{2} r^{2} + c p^{2} s^{2} + c q^{2} r^{2} + c^{2} q^{2} s^{2}$ .

Правая часть: $p^{2} r^{2} + c^{2} q^{2} s^{2} + c p^{2} s^{2} + c q^{2} r^{2}$ .

Так как левая и правая части тождественно равны, утверждение доказано.