Номер 1022 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

При каком значении $b$ многочлен стандартного вида, тождественно равный произведению $(x^{2} - 10 x + 6) (2 x + b)$ :

а) не содержит $x^{2}$ ;
б) имеет равные коэффициенты при $x^{3}$ и при $x$ ?

Краткое решение

(x^{2} - 10 x + 6) (2 x + b) = 2 x^{3} + b x^{2} - 20 x^{2} - 10 b x + 12 x + 6 b = 2 x^{3} + (b - 20) x^{2} + (12 - 10 b) x + 6 b

а) b - 20 = 0 ⟹ b = 20

б) 12 - 10 b = 2 ⟹ - 10 b = - 10 ⟹ b = 1

Подробное решение

📚 Теория: Коэффициенты многочлена

При раскрытии скобок важно привести многочлен к стандартному виду, сгруппировав слагаемые с одинаковыми степенями $x$ . Это позволяет легко найти и сравнить коэффициенты.

1. Раскрытие скобок

Перемножим трехчлен на двучлен:

(x^{2} - 10 x + 6) (2 x + b) = 2 x^{3} + b x^{2} - 20 x^{2} - 10 b x + 12 x + 6 b

Приведем подобные слагаемые:

2 x^{3} + (b - 20) x^{2} + (12 - 10 b) x + 6 b

2. Решение пункта а)

Чтобы многочлен не содержал $x^{2}$ , коэффициент при $x^{2}$ должен быть равен $0$ :

b - 20 = 0 ⟹ b = 20

3. Решение пункта б)

Найдем коэффициенты:

Коэффициент при $x^{3}$ равен $2$ .
Коэффициент при $x$ равен $12 - 10 b$ .

По условию они должны быть равны:

12 - 10 b = 2

- 10 b = 2 - 12

- 10 b = - 10 ⟹ b = 1