📚 Теория: Формулы сокращенного умножения
Для упрощения этого выражения используются три основные формулы:
1. Квадрат суммы/разности: (x±y)2=x2±2xy+y2.
2. Разность квадратов: (x−y)(x+y)=x2−y2.
3. Возведение степени в степень: (an)m=anm.
Решим задачу, последовательно упрощая группы множителей:
1. Преобразование первых двух скобок:
Раскроем внутренние скобки и заметим полные квадраты:
a(a+2b)+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2 a(a−2b)+b2=a2−2ab+b2=(a−b)2 Их произведение дает: (a+b)2(a−b)2=((a+b)(a−b))2=(a2−b2)2.
2. Упрощение третьей скобки:
Раскроем квадрат разности внутри скобки и приведем подобные слагаемые:
(a2−b2)2+4a2b2=a4−2a2b2+b4+4a2b2=a4+2a2b2+b4 Полученное выражение сворачивается в квадрат суммы: (a2+b2)2.
3. Итоговое умножение:
Теперь перемножим результаты двух этапов:
(a2−b2)2(a2+b2)2=((a2−b2)(a2+b2))2=(a4−b4)2 Раскрываем последний квадрат разности:
(a4)2−2⋅a4⋅b4+(b4)2=a8−2a4b4+b8 Ответ: a8−2a4b4+b8.
