Докажите тождество:
а) (a+b)2(a−b)−2ab(b−a)−6ab(a−b)=(a−b)3;
б) (a+b)(a−b)2+2ab(a+b)−2ab(−a−b)=(a+b)3.
Краткое решение
а) (a+b)2(a−b)−2ab(b−a)−6ab(a−b)=(a−b)3 (a+b)2(a−b)+2ab(a−b)−6ab(a−b)=(a−b)3 (a−b)((a+b)2+2ab−6ab)=(a−b)3 (a−b)(a2+2ab+b2−4ab)=(a−b)3 (a−b)(a2−2ab+b2)=(a−b)3 (a−b)(a−b)2=(a−b)3 б) (a+b)(a−b)2+2ab(a+b)−2ab(−a−b)=(a+b)3 (a+b)(a−b)2+2ab(a+b)+2ab(a+b)=(a+b)3 (a+b)((a−b)2+2ab+2ab)=(a+b)3 (a+b)(a2−2ab+b2+4ab)=(a+b)3 (a+b)(a2+2ab+b2)=(a+b)3 (a+b)(a+b)2=(a+b)3 (a+b)3=(a+b)3 Подробное решение
📚 Теория: Доказательство тождеств
Для доказательства тождества в данном номере используется метод преобразования левой части выражения к правой. Основные приемы:
1. Вынесение общего множителя: объединение слагаемых с одинаковой скобкой.
2. Формулы квадрата суммы/разности: (a±b)2=a2±2ab+b2.
3. Смена знака: изменение (b−a) на −(a−b) для получения общего множителя.
Решение пункта а)
1. В слагаемом −2ab(b−a) поменяем знаки в скобках на противоположные, вынеся минус. Получим +2ab(a−b). Теперь во всех трех слагаемых левой части есть общий множитель (a−b).
2. Выносим (a−b) за скобки и преобразуем оставшееся выражение в квадратных скобках:
(a−b)[(a+b)2+2ab−6ab]=(a−b)[(a+b)2−4ab] 3. Раскроем квадрат суммы (a+b)2 и приведем подобные:
(a−b)(a2+2ab+b2−4ab)=(a−b)(a2−2ab+b2) 4. Полученное во второй скобке выражение сворачиваем по формуле квадрата разности:
(a−b)(a−b)2=(a−b)3 Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Решение пункта б)
1. Сначала упростим −2ab(−a−b). Вынесем минус из скобок: −2ab⋅(−(a+b))=+2ab(a+b). Теперь в левой части можно выделить общий множитель (a+b).
2. Выносим (a+b) за скобки:
(a+b)[(a−b)2+2ab+2ab]=(a+b)[(a−b)2+4ab] 3. Раскрываем квадрат разности и приводим подобные слагаемые:
(a+b)(a2−2ab+b2+4ab)=(a+b)(a2+2ab+b2) 4. Сворачиваем выражение во второй скобке в квадрат суммы:
(a+b)(a+b)2=(a+b)3 Левая часть тождественно равна правой.
