Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 1017

Номер 1017 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите тождество:

а) (a+b)2(a−b)−2ab(b−a)−6ab(a−b)=(a−b)3(a + b)^2(a - b) - 2ab(b - a) - 6ab(a - b) = (a - b)^3;

б) (a+b)(a−b)2+2ab(a+b)−2ab(−a−b)=(a+b)3(a + b)(a - b)^2 + 2ab(a + b) - 2ab(-a - b) = (a + b)^3.

Краткое решение

а) (a+b)2(a−b)−2ab(b−a)−6ab(a−b)=(a−b)3\text{а) } (a + b)^2(a - b) - 2ab(b - a) - 6ab(a - b) = (a - b)^3
(a+b)2(a−b)+2ab(a−b)−6ab(a−b)=(a−b)3(a + b)^2(a - b) + 2ab(a - b) - 6ab(a - b) = (a - b)^3
(a−b)((a+b)2+2ab−6ab)=(a−b)3(a - b)((a + b)^2 + 2ab - 6ab) = (a - b)^3
(a−b)(a2+2ab+b2−4ab)=(a−b)3(a - b)(a^2 + 2ab + b^2 - 4ab) = (a - b)^3
(a−b)(a2−2ab+b2)=(a−b)3(a - b)(a^2 - 2ab + b^2) = (a - b)^3
(a−b)(a−b)2=(a−b)3(a - b)(a - b)^2 = (a - b)^3
б) (a+b)(a−b)2+2ab(a+b)−2ab(−a−b)=(a+b)3\text{б) } (a + b)(a - b)^2 + 2ab(a + b) - 2ab(-a - b) = (a + b)^3
(a+b)(a−b)2+2ab(a+b)+2ab(a+b)=(a+b)3(a + b)(a - b)^2 + 2ab(a + b) + 2ab(a + b) = (a + b)^3
(a+b)((a−b)2+2ab+2ab)=(a+b)3(a + b)((a - b)^2 + 2ab + 2ab) = (a + b)^3
(a+b)(a2−2ab+b2+4ab)=(a+b)3(a + b)(a^2 - 2ab + b^2 + 4ab) = (a + b)^3
(a+b)(a2+2ab+b2)=(a+b)3(a + b)(a^2 + 2ab + b^2) = (a + b)^3
(a+b)(a+b)2=(a+b)3(a + b)(a + b)^2 = (a + b)^3
(a+b)3=(a+b)3(a + b)^3 = (a + b)^3

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство тождеств

Для доказательства тождества в данном номере используется метод преобразования левой части выражения к правой. Основные приемы:
1. Вынесение общего множителя: объединение слагаемых с одинаковой скобкой.
2. Формулы квадрата суммы/разности: (a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2.
3. Смена знака: изменение (b−a)(b - a) на −(a−b)-(a - b) для получения общего множителя.

Решение пункта а)

1. В слагаемом −2ab(b−a)-2ab(b - a) поменяем знаки в скобках на противоположные, вынеся минус. Получим +2ab(a−b)+2ab(a - b). Теперь во всех трех слагаемых левой части есть общий множитель (a−b)(a - b).

2. Выносим (a−b)(a - b) за скобки и преобразуем оставшееся выражение в квадратных скобках:

(a−b)[(a+b)2+2ab−6ab]=(a−b)[(a+b)2−4ab](a - b) [ (a + b)^2 + 2ab - 6ab ] = (a - b) [ (a + b)^2 - 4ab ]

3. Раскроем квадрат суммы (a+b)2(a + b)^2 и приведем подобные:

(a−b)(a2+2ab+b2−4ab)=(a−b)(a2−2ab+b2)(a - b) (a^2 + 2ab + b^2 - 4ab) = (a - b) (a^2 - 2ab + b^2)

4. Полученное во второй скобке выражение сворачиваем по формуле квадрата разности:

(a−b)(a−b)2=(a−b)3(a - b) (a - b)^2 = (a - b)^3

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Решение пункта б)

1. Сначала упростим −2ab(−a−b)-2ab(-a - b). Вынесем минус из скобок: −2ab⋅(−(a+b))=+2ab(a+b)-2ab \cdot (-(a + b)) = +2ab(a + b). Теперь в левой части можно выделить общий множитель (a+b)(a + b).

2. Выносим (a+b)(a + b) за скобки:

(a+b)[(a−b)2+2ab+2ab]=(a+b)[(a−b)2+4ab](a + b) [ (a - b)^2 + 2ab + 2ab ] = (a + b) [ (a - b)^2 + 4ab ]

3. Раскрываем квадрат разности и приводим подобные слагаемые:

(a+b)(a2−2ab+b2+4ab)=(a+b)(a2+2ab+b2)(a + b) (a^2 - 2ab + b^2 + 4ab) = (a + b) (a^2 + 2ab + b^2)

4. Сворачиваем выражение во второй скобке в квадрат суммы:

(a+b)(a+b)2=(a+b)3(a + b) (a + b)^2 = (a + b)^3

Левая часть тождественно равна правой.

💡 Соседние задачи

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...