Номер 1030 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарыchev

Решите уравнение:

а) $x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$ ;

в) $2y^3 - y^2 - 32y + 16 = 0$ ;

б) $y^3 - y^2 = 16y - 16$ ;

г) $4x^3 - 3x^2 = 4x - 3$ .

Краткое решение

\text{а) } x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0 \implies x^2(x - 2) - (x - 2) = 0 \implies (x - 2)(x - 1)(x + 1) = 0 \implies x = 2; \pm 1

\text{б) } y^3 - y^2 - 16y + 16 = 0 \implies y^2(y - 1) - 16(y - 1) = 0 \implies (y - 1)(y - 4)(y + 4) = 0 \implies y = 1; \pm 4

\text{в) } 2y^3 - y^2 - 32y + 16 = 0 \implies y^2(2y - 1) - 16(2y - 1) = 0 \implies (2y - 1)(y - 4)(y + 4) = 0 \implies y = 0,5; \pm 4

\text{г) } 4x^3 - 3x^2 - 4x + 3 = 0 \implies x^2(4x - 3) - (4x - 3) = 0 \implies (4x - 3)(x - 1)(x + 1) = 0 \implies x = 0,75; \pm 1

Подробное решение

📚 Теория: Свойства равенства произведения нулю

При решении уравнений методом разложения на множители:
1. Сгруппируйте слагаемые так, чтобы вынести общую скобку.
2. Полученные квадратные двучлены разложите по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ .
3. Помните, что уравнение $n$ -й степени может иметь до $n$ действительных корней.

Решение пункта а)

Выполним группировку:

x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0

(x - 2)(x^2 - 1) = 0 \implies (x - 2)(x - 1)(x + 1) = 0

Корни: $x = 2; 1; -1$ .

Решение пункта б)

Перенесем слагаемые влево:

y^3 - y^2 - 16y + 16 = 0

y^2(y - 1) - 16(y - 1) = 0

(y - 1)(y^2 - 16) = 0 \implies (y - 1)(y - 4)(y + 4) = 0

Ответ: $y = 1; y = 4; y = -4$ .

Решение пункта в)

Группируем первое со вторым и третье с четвертым:

y^2(2y - 1) - 16(2y - 1) = 0

(2y - 1)(y^2 - 16) = 0 \implies (2y - 1)(y - 4)(y + 4) = 0

Корни: $y = 0,5; y = 4; y = -4$ .

Решение пункта г)

Сгруппируем и вынесем общий множитель:

x^2(4x - 3) - 1(4x - 3) = 0

(4x - 3)(x^2 - 1) = 0 \implies (4x - 3)(x - 1)(x + 1) = 0

Ответ: $x = 0,75; x = 1; x = -1$ .