Номер 1231 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что не существует целых коэффициентов $a, b, c$ и $d$ таких, что значение многочлена $ax^3 + bx^2 + cx + d$ равно 1 при $x = 19$ и равно 2 при $x = 62$ .

Краткое решение

Составим систему уравнений:

\begin{cases} 19^3a + 19^2b + 19c + d = 1 \\ 62^3a + 62^2b + 62c + d = 2 \end{cases}

Вычтем из второго уравнения первое:

(62^3 - 19^3)a + (62^2 - 19^2)b + (62 - 19)c = 1

Разложим разности степеней, используя множитель $(62 - 19) = 43$ :

43(62^2 + 62 \cdot 19 + 19^2)a + 43(62 + 19)b + 43c = 1

Разделим обе части на 43:

(62^2 + 62 \cdot 19 + 19^2)a + (62 + 19)b + c = \frac{1}{43} \text{ - дробное число.}

Значит, коэффициенты $(a, b, c, d)$ не могут быть целыми числами.

Что и требовалось доказать.

Подробное решение

📚 Теория: Делимость многочленов

Если многочлен имеет целые коэффициенты, то разность его значений в двух целых точках $P(x_2) - P(x_1)$ должна делиться на разность аргументов $x_2 - x_1$ .

Для доказательства используем метод составления системы линейных уравнений относительно коэффициентов многочлена.

1. Формирование системы

Подставим значения $x = 19$ и $x = 62$ в общий вид многочлена:

\begin{cases} a \cdot 19^3 + b \cdot 19^2 + c \cdot 19 + d = 1 \\ a \cdot 62^3 + b \cdot 62^2 + c \cdot 62 + d = 2 \end{cases}

2. Преобразование системы

Вычитание уравнений позволяет исключить свободный коэффициент $d$ :

a(62^3 - 19^3) + b(62^2 - 19^2) + c(62 - 19) = 1

3. Анализ на целые числа

Заметим, что левая часть уравнения при целых $a, b, c$ обязана делиться на $62 - 19 = 43$ . Однако в правой части мы имеем единицу. Поскольку 1 не делится на 43 нацело, уравнение не может иметь решений в целых числах.

Вывод: не существует таких целых коэффициентов, которые удовлетворяли бы условию задачи.

💡 Похожие задачи

Номер 1230