Номер 1232 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

📚 Теория: Доказательство тождеств

Один из основных методов доказательства тождества с условием — это метод прямой подстановки выраженного значения одной переменной в основное уравнение.

Среднее арифметическое $x$ и $z$ определяется как $y = (x+z)/2$ . Подстановка этого значения позволяет свести всё выражение к переменным $x$ и $z$ для последующего сокращения.

Проведем подробное доказательство, используя алгебраические преобразования и подстановку среднего арифметического.

1. Использование условия задачи

По определению среднего арифметического:

y = \frac{x + z}{2}

2. Подстановка и упрощение

Подставим выражение для $y$ в члены тождества, содержащие эту переменную:

4x^2y^2 = 4x^2 \left(\frac{x+z}{2}\right)^2 = 4x^2 \frac{(x+z)^2}{4} = x^2(x+z)^2

4y^2z^2 = 4z^2 \left(\frac{x+z}{2}\right)^2 = 4z^2 \frac{(x+z)^2}{4} = z^2(x+z)^2

3. Раскрытие скобок и группировка

Запишем всю левую часть уравнения после подстановки:

x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 - x^2(x^2 + 2xz + z^2) + z^2(x^2 + 2xz + z^2) =

Распределим множители:

x^4 + 2x^3z - 2xz^3 - z^4 - x^4 - 2x^3z - x^2z^2 + x^2z^2 + 2xz^3 + z^4

4. Финальное сокращение

Заметим, что все слагаемые взаимно уничтожаются:

$x^4 - x^4 = 0$
$2x^3z - 2x^3z = 0$
$-2xz^3 + 2xz^3 = 0$
$-z^4 + z^4 = 0$
$-x^2z^2 + x^2z^2 = 0$

Левая часть равна 0, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

💡 Похожие задачи

Номер 1231