Номер 1233 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Проанализируем уравнение $p^2 - 2q^2 = 1$, где $p$ и $q$ — простые числа.

1. Исследование малых значений

Если $p = 2$ (наименьшее простое число):

Уравнение не имеет решений в целых числах.

Если $p = 3$:

Отсюда $q = 2$. Число 2 является простым, поэтому пара $(3; 2)$ — решение.

2. Анализ для p > 3

Если $p$ — простое число больше 3, то оно обязательно нечётное. Представим уравнение в виде:

Поскольку $p$ нечётно, то числа $p - 1$ и $p + 1$ являются последовательными чётными числами. Произведение двух последовательных чётных чисел всегда делится на 8.

3. Ограничение для q

Так как левая часть $(p - 1)(p + 1)$ делится на 8, то и правая часть $2q^2$ должна делиться на 8:

Единственное простое число, которое делится на 2 — это само число 2. Значит, $q = 2$. Но при $q = 2$ мы уже нашли значение $p = 3$.

Вывод: единственная пара простых чисел, удовлетворяющая условию — (3; 2).