Верно ли при любом значении x равенство:
а) ∣x∣2=x2; б) ∣x∣3=x3?
Краткое решение
а) ∣x∣2=x2 — верно.
Так как ∣x∣2≥0 и x2≥0 при любых x. б) ∣x∣3=x3 — неверно.
При x=−2:∣−2∣3=8, а (−2)3=−8. 8=−8. Подробное решение
📚 Теория: Модуль и четность степени
1. Квадрат любого числа (и модуля числа) всегда неотрицателен.
2. При возведении в четную степень знаки всегда становятся положительными, поэтому ∣x∣2n=x2n.
3. При возведении в нечетную степень знак сохраняется. Модуль же всегда делает число положительным, поэтому для отрицательных x равенство в нечетной степени нарушается.
Проанализируем каждое равенство:
Пункт а)
Рассмотрим два случая:
- Если x≥0, то ∣x∣=x, значит x2=x2.
- Если x<0, то ∣x∣=−x, значит (−x)2=x2.
Равенство выполняется всегда.
Пункт б)
Проверим на отрицательном числе, например x=−1:
∣−1∣3=13=1 (−1)3=−1 Так как 1=−1, равенство не является тождеством и верно только для неотрицательных чисел.
