Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:
- а) (a−3)(a2−8a+5)−(a−8)(a2−3a+5);
- б) (x2−3x+2)(2x+5)−(2x2+7x+17)(x−4);
- в) (b2+4b−5)(b−2)+(3−b)(b2+5b+2).
Краткое решение
а) Раскроем скобки:
(a3−8a2+5a−3a2+24a−15)−(a3−3a2+5a−8a2+24a−40)= =(a3−11a2+29a−15)−(a3−11a2+29a−40)= =a3−11a2+29a−15−a3+11a2−29a+40=25. Результат 25 не содержит переменную a, значит, значение выражения не зависит от a. Доказано.
б) Раскроем скобки:
(2x3+5x2−6x2−15x+4x+10)−(2x3−8x2+7x2−28x+17x−68)= =(2x3−x2−11x+10)−(2x3−x2−11x−68)= =2x3−x2−11x+10−2x3+x2+11x+68=78. Результат 78 не зависит от x. Доказано.
в) Раскроем скобки:
(b3−2b2+4b2−8b−5b+10)+(3b2+15b+6−b3−5b2−2b)= =(b3+2b2−13b+10)+(−b3−2b2+13b+6)=16. Результат 16 не зависит от b. Доказано.
Подробное решение
📚 Теория: Доказательство независимости
Утверждение «выражение не зависит от переменной» означает, что после выполнения всех упрощений (раскрытия скобок и приведения подобных) все слагаемые, содержащие буквенную часть, взаимно уничтожатся. В итоге должно остаться только число.
Подробный разбор доказательств
Пункт а)
Для доказательства перемножим многочлены в обеих частях.
Первая группа: a(a2−8a+5)−3(a2−8a+5)=a3−8a2+5a−3a2+24a−15=a3−11a2+29a−15.
Вторая группа: a(a2−3a+5)−8(a2−3a+5)=a3−3a2+5a−8a2+24a−40=a3−11a2+29a−40.
Теперь вычтем вторую группу из первой. Важно: все знаки второй группы меняются на противоположные!
a3−11a2+29a−15−a3+11a2−29a+40=25 Все члены с a3, a2 и a сократились. Результат — число 25. Независимость доказана.
Пункт б)
Умножим скобки. Здесь принцип тот же, но коэффициенты другие.
После раскрытия первой пары получаем 2x3−x2−11x+10.
После раскрытия второй пары (не забывая про минус перед ней): −(2x3−x2−11x−68)=−2x3+x2+11x+68.
При сложении всех слагаемых иксы исчезают: 10+68=78. Доказано.
Пункт в)
В этом примере вторая группа скобок соединена знаком плюс, что упрощает задачу.
Левая часть: b3+2b2−13b+10.
Правая часть: −b3−2b2+13b+6.
Складываем: b3−b3=0, 2b2−2b2=0, −13b+13b=0.
Остается только сумма чисел: 10+6=16. Независимость от переменной b доказана.
