Разложите на множители многочлен:
а) x2−10x+24;
г) x2+15x+54;
б) x2−13x+40;
д) x2+x−12;
в) x2+8x+7;
е) x2−2x−35.
Краткое решение
а)x2−4x−6x+24=
=x(x−4)−6(x−4)=(x−4)(x−6).
б)x2−5x−8x+40=
=x(x−5)−8(x−5)=(x−5)(x−8).
в)x2+x+7x+7=
=x(x+1)+7(x+1)=(x+1)(x+7).
г)x2+6x+9x+54=
=x(x+6)+9(x+6)=(x+6)(x+9).
д)x2+4x−3x−12=
=x(x+4)−3(x+4)=(x+4)(x−3).
е)x2−7x+5x−35=
=x(x−7)+5(x−7)=(x−7)(x+5).
Подробное решение
📚 Теория: Разложение трёхчлена
Чтобы разложить трёхчлен вида x2+bx+c методом группировки, нужно представить средний член bx в виде суммы двух слагаемых так, чтобы их коэффициенты в произведении давали число c.
Например, для x2−10x+24 мы ищем два числа, сумма которых −10, а произведение 24. Это −4 и −6.
Подробный разбор решения
Как догадаться, на что разбивать средний член?
Для примера а) x2−10x+24 нам нужно число −10x представить как два слагаемых. Мы смотрим на свободное число 24 и думаем, на какие множители оно раскладывается: 1 и 24, 2 и 12, 3 и 8, 4 и 6.
Какая пара в сумме может дать 10? Только 4 и 6. Так как у нас −10, берем −4 и −6.
Логика группировки
После того как мы переписали трёхчлен как x2−4x−6x+24, задача превращается в обычную группировку по парам:
- Из первой пары (x2−4x) выносим x.
- Из второй пары (−6x+24) выносим −6, чтобы в скобках знаки поменялись и мы получили (x−4).
- Выносим общую скобку.
Пример д): разные знаки
В x2+x−12 произведение множителей должно быть отрицательным (−12), а сумма +1. Подходят числа 4 и -3.
x2+4x−3x−12=x(x+4)−3(x+4)=(x+4)(x−3).
