Докажите, что если b+c=10, то (10a+b)(10a+c)=100a(a+1)+bc. Воспользовавшись этой формулой, вычислите:
а) 23⋅27; б) 42⋅48; в) 59⋅51; г) 84⋅86.
Краткое решение
1) Доказательство:
(10a+b)(10a+c)=100a2+10ac+10ab+bc= =100a2+10a(c+b)+bc. Так как b+c=10, то:
100a2+10a⋅10+bc=100a2+100a+bc=100a(a+1)+bc. Доказано.
2) Вычисления:
- а) 23⋅27=100⋅2(2+1)+3⋅7=600+21=621;
- б) 42⋅48=100⋅4(4+1)+2⋅8=2000+16=2016;
- в) 59⋅51=100⋅5(5+1)+9⋅1=3000+9=3009;
- г) 84⋅86=100⋅8(8+1)+4⋅6=7200+24=7224.
Подробное решение
💡 Математический лайфхак
Эта формула позволяет мгновенно умножать в уме двузначные числа, у которых одинаковые десятки, а сумма единиц равна 10.
Нужно просто умножить цифру десятков на следующую за ней цифру и приписать произведение единиц в конце.
Подробный разбор решения
Шаг 1: Доказательство формулы
Для доказательства раскроем скобки в левой части выражения (10a+b)(10a+c) методом умножения многочлена на многочлен.
Получаем: 100a2+10ac+10ab+bc.
У вторых и третьих слагаемых есть общий множитель 10a, вынесем его: 100a2+10a(c+b)+bc.
В условии сказано, что b+c=10. Подставив это число вместо скобки, мы превращаем 10a⋅(b+c) в 100a.
Итоговое выражение 100a2+100a+bc легко превращается в правую часть формулы вынесением 100a.
Шаг 2: Применение на практике
Разберем пункт а) 23⋅27.
Здесь количество десятков a=2, единицы b=3 и c=7. Сумма единиц 3+7=10, значит формула работает:
100⋅2⋅(2+1)=100⋅6=600.
b⋅c=3⋅7=21.
Результат: 621.
Аналогично считаются остальные примеры. Например, в пункте в) 59⋅51 мы умножаем 5 на 6 (получаем 30 сотен) и прибавляем 9⋅1=9. Ответ: 3009.
