Номер 814 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что:

а) если $ab + c^{2} = 0$ , то $(a + c) (b + c) + (a - c) (b - c) = 0$ ;
б) если $a + b = 9$ , то $(a + 1) (b + 1) - (a - 1) (b - 1) = 18$ .

Краткое решение

а) Раскроем скобки:

(ab + a c + b c + c^{2}) + (ab - a c - b c + c^{2}) =

= ab + a c + b c + c^{2} + ab - a c - b c + c^{2} = 2 ab + 2 c^{2} = 2 (ab + c^{2}) .

По условию $ab + c^{2} = 0$ , следовательно: $2 \cdot 0 = 0$ . Доказано.

б) Раскроем скобки:

(ab + a + b + 1) - (ab - a - b + 1) =

= ab + a + b + 1 - ab + a + b - 1 = 2 a + 2 b = 2 (a + b) .

По условию $a + b = 9$ , следовательно: $2 \cdot 9 = 18$ . Доказано.

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство по условию

При доказательстве таких утверждений сначала максимально упростите основное выражение. В результате вы должны получить конструкцию, которая включает в себя часть из условия «если...». После этого подставьте числовое значение из условия.

Подробный разбор доказательств

Разбор пункта а)

1. Перемножаем скобки «фонтанчиком»:
$(a + c) (b + c) = ab + a c + b c + c^{2}$ .
$(a - c) (b - c) = ab - a c - b c + c^{2}$ .

2. Складываем эти выражения. Мы видим, что $a c$ и $- a c$ , а также $b c$ и $- b c$ взаимно уничтожаются.
Остается: $ab + ab + c^{2} + c^{2} = 2 ab + 2 c^{2}$ .

3. Вынесем общий множитель 2: $2 (ab + c^{2})$ . По условию сумма в скобках равна нулю. Любое число, умноженное на ноль, равно нулю. Доказательство завершено.

Разбор пункта б)

1. Раскрываем скобки:
Первая часть: $ab + a + b + 1$ .
Вторая часть (перед ней минус!): $- (ab - a - b + 1) = - ab + a + b - 1$ .

2. Приводим подобные: $ab$ и $- ab$ сокращаются, $1$ и $- 1$ тоже.
Остается: $a + a + b + b = 2 a + 2 b = 2 (a + b)$ .

3. В условии дано, что сумма $a + b$ равна 9. Подставляем её в наш результат: $2 \cdot 9 = 18$ . Число совпало с утверждением в задаче.

💡 Похожие номера

Номер 813