Номер 811 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите тождество:

а) $(y^{4} + y^{3}) (y^{2} - y) = y^{4} (y + 1) (y - 1)$ ;
б) $(a^{2} + 3 a) (a^{2} + 3 a + 2) = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)$ ;
в) $(a^{2} + ab + b^{2}) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}$ ;
г) $(c^{4} - c^{2} + 1) (c^{4} + c^{2} + 1) = c^{8} + c^{4} + 1$ .

Краткое решение

а)

(y^{4} + y^{3}) (y^{2} - y) = y^{3} (y + 1) \cdot y (y - 1) =

= y^{4} (y + 1) (y - 1) .

б)

(a^{2} + 3 a) (a^{2} + 3 a + 2) = a (a + 3) \cdot (a^{2} + a + 2 a + 2) =

= a (a + 3) (a (a + 1) + 2 (a + 1)) =

= a (a + 3) (a + 1) (a + 2) = a (a + 1) (a + 2) (a + 3) .

в)

((a^{2} + b^{2}) + ab) ((a^{2} + b^{2}) - ab) =

= (a^{2} + b^{2})^{2} - (ab)^{2} = a^{4} + 2 a^{2} b^{2} + b^{4} - a^{2} b^{2} =

= a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4} .

г)

((c^{4} + 1) - c^{2}) ((c^{4} + 1) + c^{2}) =

= (c^{4} + 1)^{2} - (c^{2})^{2} = c^{8} + 2 c^{4} + 1 - c^{4} =

= c^{8} + c^{4} + 1.

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство тождеств

Доказать тождество — значит показать, что его левая и правая части равны при любых значениях переменных. Для этого мы используем:
1. Вынесение общего множителя за скобки.
2. Группировку слагаемых.
3. Метод разности квадратов (свертывание в обратном порядке).

Подробный разбор доказательств

Разбор пункта б)

Для доказательства преобразуем левую часть. Сначала вынесем $a$ из первой скобки: $a (a + 3)$ .

Затем разложим на множители вторую скобку методом группировки, представив $3 a$ как $a + 2 a$ :

a^{2} + a + 2 a + 2 = a (a + 1) + 2 (a + 1) = (a + 1) (a + 2) .

Собираем всё вместе: $a (a + 3) (a + 1) (a + 2)$ . Поменяв множители местами, получаем правую часть. Тождество доказано.

Разбор пунктов в) и г)

В этих пунктах используется прием «искусственной» группировки. Мы выделяем в скобках части, которые образуют разность квадратов:

В пункте в) группируем $a^{2} + b^{2}$ .
В пункте г) группируем $c^{4} + 1$ .

После возведения в квадрат и приведения подобных получаем точно такие же выражения, как в правой части тождеств.