Номер 813 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что если $b + c = 10$ , то $(10 a + b) (10 a + c) = 100 a (a + 1) + b c$ . Воспользовавшись этой формулой, вычислите:
а) $23 \cdot 27$ ; б) $42 \cdot 48$ ; в) $59 \cdot 51$ ; г) $84 \cdot 86$ .

Краткое решение

1) Доказательство:

(10 a + b) (10 a + c) = 100 a^{2} + 10 a c + 10 ab + b c =

= 100 a^{2} + 10 a (c + b) + b c .

Так как $b + c = 10$ , то:

100 a^{2} + 10 a \cdot 10 + b c = 100 a^{2} + 100 a + b c = 100 a (a + 1) + b c .

Доказано.

2) Вычисления:

а) $23 \cdot 27 = 100 \cdot 2 (2 + 1) + 3 \cdot 7 = 600 + 21 = 621$ ;
б) $42 \cdot 48 = 100 \cdot 4 (4 + 1) + 2 \cdot 8 = 2000 + 16 = 2016$ ;
в) $59 \cdot 51 = 100 \cdot 5 (5 + 1) + 9 \cdot 1 = 3000 + 9 = 3009$ ;
г) $84 \cdot 86 = 100 \cdot 8 (8 + 1) + 4 \cdot 6 = 7200 + 24 = 7224$ .

Подробное решение

💡 Математический лайфхак

Эта формула позволяет мгновенно умножать в уме двузначные числа, у которых одинаковые десятки, а сумма единиц равна 10.
Нужно просто умножить цифру десятков на следующую за ней цифру и приписать произведение единиц в конце.

Подробный разбор решения

Шаг 1: Доказательство формулы

Для доказательства раскроем скобки в левой части выражения $(10 a + b) (10 a + c)$ методом умножения многочлена на многочлен.
Получаем: $100 a^{2} + 10 a c + 10 ab + b c$ .
У вторых и третьих слагаемых есть общий множитель $10 a$ , вынесем его: $100 a^{2} + 10 a (c + b) + b c$ .

В условии сказано, что $b + c = 10$ . Подставив это число вместо скобки, мы превращаем $10 a \cdot (b + c)$ в $100 a$ .
Итоговое выражение $100 a^{2} + 100 a + b c$ легко превращается в правую часть формулы вынесением $100 a$ .

Шаг 2: Применение на практике

Разберем пункт а) $23 \cdot 27$ .
Здесь количество десятков $a = 2$ , единицы $b = 3$ и $c = 7$ . Сумма единиц $3 + 7 = 10$ , значит формула работает:
$100 \cdot 2 \cdot (2 + 1) = 100 \cdot 6 = 600$ .
$b \cdot c = 3 \cdot 7 = 21$ .
Результат: 621.

Аналогично считаются остальные примеры. Например, в пункте в) $59 \cdot 51$ мы умножаем 5 на 6 (получаем 30 сотен) и прибавляем $9 \cdot 1 = 9$ . Ответ: 3009.