Проверьте, что равенство n2+(n+2)2+(n+9)2=(n−1)2+(n+5)2+(n+7)2+10 верно при n=3. Покажите, что это равенство верно при любом n.
Краткое решение
a)n2+(n+2)2+(n+9)2=(n−1)2+(n+5)2+(n+7)2+10 При n=3:
32+(3+2)2+(3+9)2=9+52+122=9+25+144=178. (3−1)2+(3+5)2+(3+7)2+10=22+82+102+10=4+64+100+10=178. 178=178 — верно.
б) 1) n2+(n+2)2+(n+9)2=
=n2+(n2+4n+4)+(n2+18n+81)= =n2+n2+4n+4+n2+18n+81= =3n2+22n+85. 2) (n−1)2+(n+5)2+(n+7)2+10=
=(n2−2n+1)+(n2+10n+25)+(n2+14n+49)+10= =n2−2n+1+n2+10n+25+n2+14n+49+10= =3n2+(−2n+10n+14n)+(1+25+49+10)= =3n2+22n+85. 3) 3n2+22n+85=3n2+22n+85 — верно при любом n.
Подробное решение
📚 Теория: Квадрат суммы и разности
Для доказательства тождеств мы используем формулы:
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2 Равенство считается доказанным, если после упрощения обе части выражения стали идентичными.
Подробный разбор решения
Часть 1: Числовая проверка
Для проверки при n=3 мы просто подставляем это число в обе части равенства. В левой части получаем сумму квадратов чисел 3, 5 и 12, которая равна 178. В правой части — сумму квадратов 2, 8, 10 и число 10, что также дает 178. Поскольку 178 = 178, равенство при n=3 подтверждено.
Часть 2: Доказательство тождества
Чтобы показать, что равенство верно для любого n, нужно преобразовать его буквенные части.
- Раскрытие левой части: Возводим в квадрат (n+2) и (n+9). Складываем три полученных многочлена. Коэффициенты при n2 суммируются в 3, при n — в 22, а свободные числа — в 85.
- Раскрытие правой части: Используем формулу квадрата разности для первой скобки и квадрата суммы для остальных. После приведения подобных слагаемых мы получаем точно такое же выражение: 3n2+22n+85.
Так как обе части выражения после упрощения совпали, тождество считается доказанным.
