Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 818

Номер 818 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Проверьте, что равенство n2+(n+2)2+(n+9)2=(n−1)2+(n+5)2+(n+7)2+10n^2 + (n + 2)^2 + (n + 9)^2 = (n - 1)^2 + (n + 5)^2 + (n + 7)^2 + 10 верно при n=3n = 3. Покажите, что это равенство верно при любом nn.

Краткое решение

a)n2+(n+2)2+(n+9)2=(n−1)2+(n+5)2+(n+7)2+10a) n^2 + (n + 2)^2 + (n + 9)^2 = (n - 1)^2 + (n + 5)^2 + (n + 7)^2 + 10

При n=3n = 3:

32+(3+2)2+(3+9)2=9+52+122=9+25+144=178.3^2 + (3 + 2)^2 + (3 + 9)^2 = 9 + 5^2 + 12^2 = 9 + 25 + 144 = 178.
(3−1)2+(3+5)2+(3+7)2+10=22+82+102+10=4+64+100+10=178.(3 - 1)^2 + (3 + 5)^2 + (3 + 7)^2 + 10 = 2^2 + 8^2 + 10^2 + 10 = 4 + 64 + 100 + 10 = 178.

178=178178 = 178 — верно.

б) 1) n2+(n+2)2+(n+9)2=n^2 + (n + 2)^2 + (n + 9)^2 =

=n2+(n2+4n+4)+(n2+18n+81)== n^2 + (n^2 + 4n + 4) + (n^2 + 18n + 81) =
=n2+n2+4n+4+n2+18n+81== n^2 + n^2 + 4n + 4 + n^2 + 18n + 81 =
=3n2+22n+85.= 3n^2 + 22n + 85.

2) (n−1)2+(n+5)2+(n+7)2+10=(n - 1)^2 + (n + 5)^2 + (n + 7)^2 + 10 =

=(n2−2n+1)+(n2+10n+25)+(n2+14n+49)+10== (n^2 - 2n + 1) + (n^2 + 10n + 25) + (n^2 + 14n + 49) + 10 =
=n2−2n+1+n2+10n+25+n2+14n+49+10== n^2 - 2n + 1 + n^2 + 10n + 25 + n^2 + 14n + 49 + 10 =
=3n2+(−2n+10n+14n)+(1+25+49+10)== 3n^2 + (-2n + 10n + 14n) + (1 + 25 + 49 + 10) =
=3n2+22n+85.= 3n^2 + 22n + 85.

3) 3n2+22n+85=3n2+22n+853n^2 + 22n + 85 = 3n^2 + 22n + 85 — верно при любом nn.

Подробное решение

📚 Теория: Квадрат суммы и разности

Для доказательства тождеств мы используем формулы:

(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Равенство считается доказанным, если после упрощения обе части выражения стали идентичными.

Подробный разбор решения

Часть 1: Числовая проверка

Для проверки при n=3n = 3 мы просто подставляем это число в обе части равенства. В левой части получаем сумму квадратов чисел 3, 5 и 12, которая равна 178. В правой части — сумму квадратов 2, 8, 10 и число 10, что также дает 178. Поскольку 178 = 178, равенство при n=3n = 3 подтверждено.

Часть 2: Доказательство тождества

Чтобы показать, что равенство верно для любого nn, нужно преобразовать его буквенные части.

  • Раскрытие левой части: Возводим в квадрат (n+2)(n+2) и (n+9)(n+9). Складываем три полученных многочлена. Коэффициенты при n2n^2 суммируются в 3, при nn — в 22, а свободные числа — в 85.
  • Раскрытие правой части: Используем формулу квадрата разности для первой скобки и квадрата суммы для остальных. После приведения подобных слагаемых мы получаем точно такое же выражение: 3n2+22n+853n^2 + 22n + 85.

Так как обе части выражения после упрощения совпали, тождество считается доказанным.

💡 Похожие номера

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...