Преобразуйте выражение в многочлен:
- а) (−x+5)2;
- б) (−z−2)2;
- в) (−n+4)2;
- г) (−m−10)2.
Краткое решение
- а) (−x+5)2=(−x)2+2⋅(−x)⋅5+52=x2−10x+25;
- б) (−z−2)2=(−(z+2))2=(z+2)2=z2+4z+4;
- в) (−n+4)2=(4−n)2=42−2⋅4⋅n+n2=16−8n+n2;
- г) (−m−10)2=(−(m+10))2=(m+10)2=m2+20m+100.
Подробное решение
💡 Правило знаков при возведении в квадрат
Поскольку (−a)2=a2, справедливы следующие тождества, которые упрощают вычисления:
1. (−a−b)2=(a+b)2 — если оба знака в скобках минус, их можно заменить на плюс.
2. (−a+b)2=(a−b)2 — если перед первым слагаемым минус, его можно поменять местами со вторым.
Подробный разбор решения
Разбор пункта б) и г)
Когда оба слагаемых в скобках имеют знак «минус», мы можем вынести его за скобки как −1. При возведении в квадрат этот минус превращается в плюс:
(−z−2)2=((−1)⋅(z+2))2=(−1)2⋅(z+2)2=(z+2)2. Далее применяем обычную формулу квадрата суммы: z2+4z+4.
Разбор пункта а) и в)
В выражениях вида (−x+5)2 удобнее поменять слагаемые местами, чтобы не запутаться в знаках удвоенного произведения:
(−x+5)2=(5−x)2=25−10x+x2. Если же возводить «в лоб», то квадрат первого отрицательного числа (−x)2 всё равно даст положительный x2, а удвоенное произведение 2⋅(−x)⋅5 даст −10x.
