Номер 841 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Шаг 1. Преобразование левой части выражения

Нам нужно перемножить два многочлена: $(a^2 + b^2)$ и $(c^2 + d^2)$. По правилу умножения многочленов, умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй скобки:

• Умножаем $a^2$ на вторую скобку: $a^2 \cdot c^2 + a^2 \cdot d^2$.
• Умножаем $b^2$ на вторую скобку: $b^2 \cdot c^2 + b^2 \cdot d^2$.

Записываем результат целиком: $a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$. Дальнейшее упрощение здесь невозможно.

Шаг 2. Преобразование правой части выражения

Правая часть состоит из суммы двух квадратов двучленов: $(ac + bd)^2$ и $(ad - bc)^2$. Применяем формулы сокращенного умножения:

1. Раскрываем первый квадрат суммы:

2. Раскрываем второй квадрат разности:

Шаг 3. Упрощение правой части

Складываем полученные выражения: $a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 + a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2$.

Заметим, что средние члены $2abcd$ и $-2abcd$ являются противоположными. При их сложении мы получаем ноль (они взаимно уничтожаются).

Остается выражение: $a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2$.

Шаг 4. Сравнение и вывод

Сравним результат из Шага 1 и Шага 3. После перестановки слагаемых в Шаге 3 мы видим, что буквенный состав обеих частей тождества абсолютно идентичен.

Следовательно, равенство является тождеством. Доказано.