Номер 905 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Разложите на множители:

а) $x^{4} - 9$ ;
б) $25 - n^{6}$ ;
в) $m^{8} - a^{2}$ ;

г) $y^{2} - p^{4}$ ;
д) $c^{6} - d^{6}$ ;
е) $x^{6} - a^{4}$ ;

ж) $b^{4} - y^{10}$ ;
з) $m^{8} - n^{6}$ ;
и) $a^{4} - b^{4}$ ;

к) $c^{8} - d^{8}$ ;
л) $a^{4} - 16$ ;
м) $81 - b^{4}$ .

Краткое решение

а) $x^{4} - 9 = (x^{2})^{2} - 3^{2} =$

= (x^{2} - 3) (x^{2} + 3);

б) $25 - n^{6} = 5^{2} - (n^{3})^{2} =$

= (5 - n^{3}) (5 + n^{3});

в) $m^{8} - a^{2} = (m^{4})^{2} - a^{2} =$

= (m^{4} - a) (m^{4} + a);

г) $y^{2} - p^{4} = y^{2} - (p^{2})^{2} =$

= (y - p^{2}) (y + p^{2});

д) $c^{6} - d^{6} = (c^{3})^{2} - (d^{3})^{2} =$

= (c^{3} - d^{3}) (c^{3} + d^{3});

е) $x^{6} - a^{4} = (x^{3})^{2} - (a^{2})^{2} =$

= (x^{3} - a^{2}) (x^{3} + a^{2});

ж) $b^{4} - y^{10} = (b^{2})^{2} - (y^{5})^{2} =$

= (b^{2} - y^{5}) (b^{2} + y^{5});

з) $m^{8} - n^{6} = (m^{4})^{2} - (n^{3})^{2} =$

= (m^{4} - n^{3}) (m^{4} + n^{3});

и) $a^{4} - b^{4} = (a^{2})^{2} - (b^{2})^{2} =$

= (a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2}) =

= (a - b) (a + b) (a^{2} + b^{2});

к) $c^{8} - d^{8} = (c^{4})^{2} - (d^{4})^{2} =$

= (c^{4} - d^{4}) (c^{4} + d^{4}) =

= ((c^{2})^{2} - (d^{2})^{2}) (c^{4} + d^{4}) =

= (c^{2} - d^{2}) (c^{2} + d^{2}) (c^{4} + d^{4}) =

= (c - d) (c + d) (c^{2} + d^{2}) (c^{4} + d^{4});

л) $a^{4} - 16 = (a^{2})^{2} - 4^{2} =$

= (a^{2} - 4) (a^{2} + 4) =

= (a^{2} - 2^{2}) (a^{2} + 4) =

= (a - 2) (a + 2) (a^{2} + 4);

м) $81 - b^{4} = 9^{2} - (b^{2})^{2} =$

= (9 - b^{2}) (9 + b^{2}) =

= (3^{2} - b^{2}) (9 + b^{2}) =

= (3 - b) (3 + b) (9 + b^{2}) .

Подробное решение

📚 Правила работы со степенями

Для разложения выражений с четными степенями ( $x^{4}, x^{6}, x^{8}$ ...) на множители:

Представьте степень в виде квадрата, разделив показатель на 2: $x^{2 n} = (x^{n})^{2}$ .
Используйте формулу: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
Проверяйте результат: если в первой скобке снова получилась разность квадратов (как в пунктах и–м), разложите её повторно.

Развернутый пошаговый разбор всех пунктов

Пункты а) — г): степени 4 и 8

1. а) Представим $x^{4}$ как $(x^{2})^{2}$ . Число 9 — это $3^{2}$ . Формула дает $(x^{2} - 3) (x^{2} + 3)$ .

2. б) $n^{6}$ — это $(n^{3})^{2}$ . Получаем $(5 - n^{3}) (5 + n^{3})$ .

3. в) $m^{8} = (m^{4})^{2}$ . Разложение: $(m^{4} - a) (m^{4} + a)$ .

4. г) $p^{4} = (p^{2})^{2}$ . Разложение: $(y - p^{2}) (y + p^{2})$ .

Пункты д) — з): степени 6 и 10

Здесь важно помнить: при представлении в виде квадрата показатель степени делится на два.

д) $c^{6} = (c^{3})^{2}$ , $d^{6} = (d^{3})^{2}$ . Итог: $(c^{3} - d^{3}) (c^{3} + d^{3})$ .
е) $x^{6} = (x^{3})^{2}$ , $a^{4} = (a^{2})^{2}$ . Итог: $(x^{3} - a^{2}) (x^{3} + a^{2})$ .
ж) $b^{4} = (b^{2})^{2}$ , $y^{10} = (y^{5})^{2}$ . Итог: $(b^{2} - y^{5}) (b^{2} + y^{5})$ .
з) $m^{8} = (m^{4})^{2}$ , $n^{6} = (n^{3})^{2}$ . Итог: $(m^{4} - n^{3}) (m^{4} + n^{3})$ .

Пункты и) — м): многократное разложение

В этих пунктах разность квадратов применяется несколько раз подряд, пока это возможно.

и) Сначала: $(a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2})$ . Разложим первую скобку: $(a - b) (a + b) (a^{2} + b^{2})$ .

к) Самый длинный пример: $c^{8} - d^{8} = (c^{4} - d^{4}) (c^{4} + d^{4})$ . Затем $c^{4} - d^{4}$ раскладываем до $(c^{2} - d^{2}) (c^{2} + d^{2})$ и, наконец, $c^{2} - d^{2}$ до линейных множителей.

л) Число 16 — это $4^{2}$ . Сначала $(a^{2} - 4) (a^{2} + 4)$ , затем $a^{2} - 4$ превращается в $(a - 2) (a + 2)$ .

м) $81 - b^{4} = (9 - b^{2}) (9 + b^{2}) = (3 - b) (3 + b) (9 + b^{2})$ .