Номер 906 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Решите уравнение:

Краткое решение

а)

x^{2} - 16 = 0

(x - 4) (x + 4) = 0

x - 4 = 0 или x + 4 = 0

x_{1} = 4; x_{2} = - 4.

б)

y^{2} - 81 = 0

(y - 9) (y + 9) = 0

y_{1} = 9; y_{2} = - 9.

в)

\frac{1}{9} - x^{2} = 0

(\frac{1}{3} - x) (\frac{1}{3} + x) = 0

x_{1} = \frac{1}{3}; x_{2} = - \frac{1}{3} .

д)

b^{2} + 36 = 0

b^{2} = - 36

Корней нет.

ж)

4 x^{2} - 9 = 0

(2 x - 3) (2 x + 3) = 0

2 x = 3 ⟹ x_{1} = 1, 5

2 x = - 3 ⟹ x_{2} = - 1, 5

и)

81 x^{2} + 4 = 0

81 x^{2} = - 4

Корней нет.

При решении уравнений методом разложения на множители:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Квадрат числа всегда неотрицателен ( $x^{2} \geq 0$ ). Поэтому сумма квадрата и положительного числа ( $x^{2} + c = 0$ ) не имеет корней.

Применяем формулу разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

В пункте а) раскладываем $x^{2} - 16$ на множители $(x - 4)$ и $(x + 4)$ . Приравнивая каждый к нулю, получаем корни 4 и -4.

В этих пунктах при переносе числа в правую часть мы получаем равенство вида $x^{2} = - c$ .

Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, такие уравнения не имеют корней.

Представляем первый член как квадрат одночлена: $4 x^{2} = (2 x)^{2}$ .

Тогда уравнение $(2 x)^{2} - 3^{2} = 0$ дает две ветки решения: $2 x = 3$ и $2 x = - 3$ .