Номер 929 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что значение выражения:

а) $327^3 + 173^3$ делится на 500;
б) $731^3 - 631^3$ делится на 100;

в) $211^3 + 129^3$ делится на 17;
г) $356^3 - 245^3$ делится на 3.

Краткое решение

а) $327^3 + 173^3 =$

= (327 + 173)(327^2 - 327 \cdot 173 + 173^2) =

= 500 \cdot (327^2 - 327 \cdot 173 + 173^2).

Множитель 500 делится на 500, значит и всё выражение делится на 500.

б) $731^3 - 631^3 =$

= (731 - 631)(731^2 + 731 \cdot 631 + 631^2) =

= 100 \cdot (731^2 + 731 \cdot 631 + 631^2).

Выражение кратно 100.

в) $211^3 + 129^3 =$

= (211 + 129)(211^2 - 211 \cdot 129 + 129^2) =

= 340 \cdot (211^2 - 211 \cdot 129 + 129^2).

Так как $340 : 17 = 20$ , то всё произведение делится на 17.

г) $356^3 - 245^3 =$

= (356 - 245)(356^2 + 356 \cdot 245 + 245^2) =

= 111 \cdot (356^2 + 356 \cdot 245 + 245^2).

Так как $111 : 3 = 37$ , выражение делится на 3.

Подробное решение

📚 Доказательство делимости

Алгоритм решения таких задач:

Примените формулу суммы или разности кубов: $a^3 \pm b^3$ .
Вычислите значение в первой скобке (сумму или разность оснований).
Если полученное число делится на заданный делитель, то и всё произведение делится на него.

Развернутый пошаговый разбор доказательств

Разбор пункта а): делимость на 500

Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ .

Для нашего выражения: $(327 + 173)(327^2 - 327 \cdot 173 + 173^2)$ .

Сумма в первой скобке: $327 + 173 = 500$ . Поскольку один из множителей равен 500, всё произведение делится на 500 нацело.

Разбор пункта в): делимость на 17

Разложим сумму кубов: $(211 + 129)(211^2 - 211 \cdot 129 + 129^2)$ .

Первый множитель равен 340. Проверим, делится ли 340 на 17:

340 : 17 = 20.

Так как число 340 кратно 17, то и всё исходное выражение кратно 17.

Разбор пункта г): делимость на 3

Применим разность кубов: $(356 - 245)(356^2 + 356 \cdot 245 + 245^2)$ .

Разность оснований: $356 - 245 = 111$ .

По признаку делимости: сумма цифр числа 111 ( $1+1+1=3$ ) делится на 3, значит и само число 111 делится на 3 ( $111 : 3 = 37$ ). Утверждение доказано.