Докажите, что равенство не является тождеством:
а) x4+4=(x+2)2;
б) (x−2)(2+x)=4−x2.
Краткое решение
а)
(x+2)2=x2+4x+4 x4+4=x2+4x+4, Значит, равенство не тождество.
б)
(x−2)(x+2)=x2−4 x2−4=4−x2, Так как x2−4=−(4−x2). Равенство не тождество.
Подробное решение
📚 Опровержение тождеств
Чтобы доказать, что равенство НЕ является тождеством, можно использовать:
- Преобразование: приведите левую или правую часть к стандартному виду и покажите, что они не совпадают.
- Контрпример: подставьте любое число вместо переменной. Если результаты слева и справа не совпали, то равенство не тождество.
Подробный разбор доказательств
Доказательство пункта а)
1. Раскроем правую часть по формуле квадрата суммы:
(x+2)2=x2+4x+4.
2. Сравним с левой частью: x4+4. Видим, что многочлены x4+4 и x2+4x+4 имеют разные степени и разное количество слагаемых.
3. Проверим подстановкой x=1:
- Слева: 14+4=5;
- Справа: (1+2)2=32=9.
Так как 5=9, равенство не является тождеством.
Доказательство пункта б)
1. Преобразуем левую часть (x−2)(2+x) по формуле разности квадратов:
(x−2)(x+2)=x2−4.
2. Сравним с правой частью: 4−x2. Эти выражения являются противоположными по знаку (x2−4=−(4−x2)), но не равными.
3. Подставим x=0:
- Слева: (0−2)(2+0)=−2⋅2=−4;
- Справа: 4−02=4.
Поскольку −4=4, это не тождество.
