(Для работы в парах.) Впишите вместо многоточия в выражение
(n+8)(n−4)−(n+3)(n−2)+…
пропущенное число так, чтобы получилось выражение, значение которого при любом целом n делится на 3.
Краткое решение
1) (n+8)(n−4)−(n+3)(n−2)=
=n2−4n+8n−32−(n2−2n+3n−6)=
=n2+4n−32−n2+2n−3n+6=
=3n−26.
2) Пропущенное число должно быть таким, чтобы сумма этого числа и числа −26 делилась нацело на 3.
3) Свободное число может быть равно:
−1;2;5 и т.д.
Проверка:
3n−26+(−1)=3n−27=
=3(n−9) — делится на 3 для любого целого n.
3n−26+2=3n−24=
=3(n−8) — делится на 3 для любого целого n.
3n−26+5=3n−21=
=3(n−7) — делится на 3 для любого целого n.
Подробное решение
📚 Условие кратности суммы
Чтобы сумма A+B делилась на число k:
- Если одно слагаемое уже делится на k (например, 3n делится на 3), то и второе слагаемое должно быть кратно k.
- В этой задаче мы подбираем число C так, чтобы результат −26+C делился на 3 без остатка.
- Числа, делящиеся на 3: …,−3,0,3,6,9,….
Подробный разбор выполнения задания
Этап 1: Преобразование выражения
Сначала раскроем скобки в левой части выражения, используя правило умножения многочленов:
- Умножаем (n+8)(n−4)=n2−4n+8n−32;
- Умножаем (n+3)(n−2)=n2−2n+3n−6.
Теперь вычтем второе из первого, меняя знаки во второй скобке:
n2+4n−32−n2+2n−3n+6=3n−26.
Этап 2: Подбор пропущенного числа
Мы получили выражение 3n−26. Слагаемое 3n всегда делится на 3, так как имеет множитель 3.
Значит, сумма пропущенного числа и −26 должна быть кратна 3.
Ближайшие числа к 26, делящиеся на 3 — это 24 и 27.
- Чтобы получить −24, нужно добавить 2 (−26+2=−24);
- Чтобы получить −27, нужно добавить −1 (−26−1=−27);
- Чтобы получить −21, нужно добавить 5 (−26+5=−21).
