Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 945

Номер 945 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите тождество:

а) (a−3c)(4c+2a)+3c(a+3c)=(2a−c)(3c+5a)−8a2(a - 3c)(4c + 2a) + 3c(a + 3c) = (2a - c)(3c + 5a) - 8a^2;

б) (1−2b)(1−5b+b2)+(2b−1)(1−6b+b2)=b(1−2b)(1 - 2b)(1 - 5b + b^2) + (2b - 1)(1 - 6b + b^2) = b(1 - 2b).

Краткое решение

а) Левая часть:

(a−3c)(2a+4c)+3ac+9c2=(a - 3c)(2a + 4c) + 3ac + 9c^2 =
=2a2+4ac−6ac−12c2+3ac+9c2== 2a^2 + 4ac - 6ac - 12c^2 + 3ac + 9c^2 =
=2a2+ac−3c2.= 2a^2 + ac - 3c^2.

Правая часть:

6ac+10a2−3c2−5ac−8a2=6ac + 10a^2 - 3c^2 - 5ac - 8a^2 =
=2a2+ac−3c2.= 2a^2 + ac - 3c^2.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

б) Левая часть:

(1−2b)(1−5b+b2)−(1−2b)(1−6b+b2)=(1 - 2b)(1 - 5b + b^2) - (1 - 2b)(1 - 6b + b^2) =
=(1−2b)(1−5b+b2−(1−6b+b2))== (1 - 2b)(1 - 5b + b^2 - (1 - 6b + b^2)) =
=(1−2b)(1−5b+b2−1+6b−b2)== (1 - 2b)(1 - 5b + b^2 - 1 + 6b - b^2) =
=(1−2b)⋅b=b(1−2b).= (1 - 2b) \cdot b = b(1 - 2b).

Тождество доказано.

Подробное решение

📚 Доказательство тождеств

Для доказательства тождества используйте один из методов:

  • Упростите левую часть и покажите, что она равна правой.
  • Упростите правую часть и покажите её равенство левой.
  • Упростите обе части до одинакового вида.
  • Приём для пункта б: заметьте, что (2b−1)=−(1−2b)(2b - 1) = -(1 - 2b). Это позволяет вынести общий множитель за скобки.

Подробный разбор доказательств

Разбор пункта а)

1. Работаем с левой частью. Перемножим первые две скобки «каждый на каждый»:
(a−3c)(4c+2a)=4ac+2a2−12c2−6ac(a-3c)(4c+2a) = 4ac + 2a^2 - 12c^2 - 6ac.
Раскроем вторую часть: 3c(a+3c)=3ac+9c23c(a+3c) = 3ac + 9c^2.

2. Приведем подобные в левой части:
2a2+(4ac−6ac+3ac)+(−12c2+9c2)=2a2+ac−3c22a^2 + (4ac - 6ac + 3ac) + (-12c^2 + 9c^2) = 2a^2 + ac - 3c^2.

3. Теперь преобразуем правую часть. Перемножим скобки:
(2a−c)(3c+5a)=6ac+10a2−3c2−5ac(2a-c)(3c+5a) = 6ac + 10a^2 - 3c^2 - 5ac.
С учетом −8a2-8a^2 получаем:
(10a2−8a2)+(6ac−5ac)−3c2=2a2+ac−3c2(10a^2 - 8a^2) + (6ac - 5ac) - 3c^2 = 2a^2 + ac - 3c^2.

Итог: Результаты упрощения совпали, тождество верно.

Разбор пункта б)

Заметим, что множители (1−2b)(1 - 2b) и (2b−1)(2b - 1) являются противоположными. Вынесем минус из второй части, чтобы множители стали одинаковыми:
(2b−1)(1−6b+b2)=−(1−2b)(1−6b+b2)(2b - 1)(1 - 6b + b^2) = -(1 - 2b)(1 - 6b + b^2).

Теперь вынесем (1−2b)(1 - 2b) как общий множитель:
(1−2b)[(1−5b+b2)−(1−6b+b2)](1 - 2b) [ (1 - 5b + b^2) - (1 - 6b + b^2) ].

Раскроем внутренние скобки:
1−5b+b2−1+6b−b2=b1 - 5b + b^2 - 1 + 6b - b^2 = b.

Получаем: (1−2b)⋅b=b(1−2b)(1 - 2b) \cdot b = b(1 - 2b), что совпадает с правой частью.

💡 Похожие номера

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...