Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 967

Номер 967 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что значения многочлена x3−xx^3 - x при целых значениях xx кратны числу 6.

Краткое решение

x3−x=x(x2−1)=x^3 - x = x(x^2 - 1) =
=(x−1)⋅x⋅(x+1).= (x - 1) \cdot x \cdot (x + 1).

Полученное выражение — произведение трёх последовательных целых чисел.

  • Среди трёх последовательных чисел хотя бы одно делится на 2.
  • Среди трёх последовательных чисел ровно одно делится на 3.

Следовательно, их произведение делится на 2⋅3=62 \cdot 3 = 6. Тождество доказано.

Подробное решение

📚 Свойства делимости

Для доказательства кратности произведения используйте правила:

  • Любое целое число xx можно разложить на множители. Если в произведении есть множители 2 и 3, то всё число кратно 6.
  • Произведение nn последовательных чисел всегда делится на n!n! (факториал числа n).
  • В частности, произведение 3-х последовательных чисел всегда делится на 1⋅2⋅3=61 \cdot 2 \cdot 3 = 6.

Подробный разбор доказательства

1. Разложение на множители

Вынесем общий множитель xx за скобки: x(x2−1)x(x^2 - 1).
Заметим, что в скобках осталась разность квадратов. Разложим её: x(x−1)(x+1)x(x - 1)(x + 1).
Для удобства запишем множители в порядке возрастания: (x−1)⋅x⋅(x+1)(x - 1) \cdot x \cdot (x + 1).

2. Логическое обоснование кратности

Мы получили произведение трёх последовательных целых чисел.

Рассмотрим делимость на 2: в любой паре идущих подряд чисел одно обязательно четное (делится на 2). Значит, наше произведение как минимум четное.

Рассмотрим делимость на 3: каждое третье целое число делится на 3. В ряду из трёх последовательных чисел одно из них обязательно будет кратно 3.

Так как произведение делится и на 2, и на 3, оно делится на их произведение — 6.

💡 Похожие задачи

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...