Номер 978 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Представьте в виде многочлена выражение:

а) $(x + y)^6 + (x - y)^6$ ;

б) $(x + y)^6 - (x - y)^6$ .

Краткое решение

а) $(x + y)^6 + (x - y)^6 =$

= (x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6) + (x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6) =

= x^6 + \cancel{6x^5y} + 15x^4y^2 + \cancel{20x^3y^3} + 15x^2y^4 + \cancel{6xy^5} + y^6 + x^6 - \cancel{6x^5y} + 15x^4y^2 - \cancel{20x^3y^3} + 15x^2y^4 - \cancel{6xy^5} + y^6 =

= (x^6 + x^6) + (15x^4y^2 + 15x^4y^2) + (15x^2y^4 + 15x^2y^4) + (y^6 + y^6) =

= 2x^6 + 30x^4y^2 + 30x^2y^4 + 2y^6.

б) $(x + y)^6 - (x - y)^6 =$

= (x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6) - (x^6 - 6x^5y + 15x^4y^2 - 20x^3y^3 + 15x^2y^4 - 6xy^5 + y^6) =

= \cancel{x^6} + 6x^5y + \cancel{15x^4y^2} + 20x^3y^3 + \cancel{15x^2y^4} + 6xy^5 + \cancel{y^6} - \cancel{x^6} + 6x^5y - \cancel{15x^4y^2} + 20x^3y^3 - \cancel{15x^2y^4} + 6xy^5 - \cancel{y^6} =

= (6x^5y + 6x^5y) + (20x^3y^3 + 20x^3y^3) + (6xy^5 + 6xy^5) =

= 12x^5y + 40x^3y^3 + 12xy^5.

Подробное решение

При сложении или вычитании степеней двучленов $(x+y)^n$ и $(x-y)^n$ :

В разложении $(x-y)^n$ слагаемые на четных местах имеют знак «минус».
При сложении: слагаемые с противоположными знаками (где $y$ в нечетной степени) взаимно уничтожаются. Остальные удваиваются.
При вычитании: уничтожаются слагаемые с одинаковыми знаками (где $y$ в четной степени). Слагаемые с разными знаками складываются.

Для показателя степени $n = 6$ используем строку треугольника Паскаля: $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ .

В выражении $(x - y)^6$ знаки чередуются. Минус стоит перед слагаемыми, где $y$ находится в нечетной степени: $y^1, y^3, y^5$ .

В пункте а при сложении многочленов сокращаются пары $pm 6x^5y$ , $pm 20x^3y^3$ и $pm 6xy^5$ .
В пункте б перед второй скобкой стоит минус. Это значит, что знаки всех членов во второй скобке меняются. Теперь уничтожаются $x^6$ , $15x^4y^2$ , $15x^2y^4$ и $y^6$ .

Краткое решение