Номер 981 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что значение выражения:

а) $8 3^{4} + 65$ кратно 81;
б) $14 1^{10} + 88$ кратно 139.

Краткое решение

а) $8 3^{4} + 65 = (81 + 2)^{4} + 65 =$

= (8 1^{4} + 4 \cdot 8 1^{3} \cdot 2 + 6 \cdot 8 1^{2} \cdot 2^{2} + 4 \cdot 81 \cdot 2^{3} + 2^{4}) + 65 =

= (8 1^{4} + 8 \cdot 8 1^{3} + 24 \cdot 8 1^{2} + 32 \cdot 81) + 16 + 65 =

= 81 \cdot (8 1^{3} + 8 \cdot 8 1^{2} + 24 \cdot 81 + 32) + 81.

Выражение кратно 81, так как каждое слагаемое делится на 81.

б) $14 1^{10} + 88 = (139 + 2)^{10} + 88 =$

При разложении $(139 + 2)^{10}$ все члены, кроме последнего ( $2^{10}$ ), содержат множитель 139.

2^{10} + 88 = 1024 + 88 = 1112.

Проверим делимость 1112 на 139:

1112 : 139 = 8.

Так как остаток равен 0, всё выражение кратно 139.

Подробное решение

📚 Метод доказательства кратности

Алгоритм работы со степенями:

Представьте основание степени как сумму делителя и некоторого числа.
Используйте формулу бинома Ньютона. Помните: любой член разложения, содержащий делитель хотя бы в первой степени, кратен этому делителю.
Для доказательства достаточно показать, что сумма оставшихся членов (не содержащих делитель) также кратна этому числу.

Подробный разбор доказательства

Разбор пункта а)

1. Представим 83 как $81 + 2$ . Тогда выражение примет вид: $(81 + 2)^{4} + 65$ .

2. Раскроем скобки по формуле бинома для $n = 4$ . В разложении будет 5 слагаемых. Первые четыре слагаемых обязательно содержат число 81 как множитель, а значит, делятся на 81.

3. Рассмотрим оставшуюся часть: последний член разложения $2^{4}$ и число 65 из условия.
$2^{4} + 65 = 16 + 65 = 81$ .

Итог: все части выражения делятся на 81, следовательно, и всё значение кратно 81.

Разбор пункта б)

1. Представим 141 как $139 + 2$ . Выражение: $(139 + 2)^{10} + 88$ .

2. Все члены разложения $(139 + 2)^{10}$ делятся на 139, кроме самого последнего — $2^{10}$ .

3. Проверяем сумму «хвостов»: $2^{10} + 88 = 1024 + 88 = 1112$ .
Разделим 1112 на 139. Получаем ровно 8.

Итог: кратность доказана.