Докажите, что значение выражения не зависит от x:
а) (x+7)2−(x−5)(x+19);
б) (x+9)2+(8−x)(x+26).
Краткое решение
а) (x+7)2−(x−5)(x+19)=
=x2+14x+49−(x2+19x−5x−95)=
=x2+14x+49−x2−14x+95=
=144.
Значение 144 не содержит x, значит, оно постоянно.
б) (x+9)2+(8−x)(x+26)=
=x2+18x+81+(8x+208−x2−26x)=
=x2+18x+81−x2−18x+208=
=289.
Значение 289 не зависит от x. Доказано.
Подробное решение
📚 Суть доказательства
Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной:
- Максимально упростите выражение: раскройте все скобки и приведите подобные слагаемые.
- Если в результате все члены с переменной x уничтожаются, а остается только число, доказательство завершено.
- Будьте внимательны со знаками при раскрытии скобок, перед которыми стоит минус.
Подробный разбор доказательства
Разбор пункта а)
1. Раскроем квадрат суммы: x2+2⋅x⋅7+72=x2+14x+49.
2. Перемножим две вторые скобки: (x−5)(x+19)=x2+19x−5x−95=x2+14x−95.
3. Вычтем второй многочлен из первого. Так как перед скобкой стоит минус, знаки внутри меняются:
x2+14x+49−(x2+14x−95)=x2+14x+49−x2−14x+95.
4. Слагаемые x2 и −x2, а также 14x и −14x взаимно уничтожаются. Остается 49+95=144.
Разбор пункта б)
Раскрываем скобки аналогично. Вторая часть выражения: (8−x)(x+26)=8x+208−x2−26x=−x2−18x+208. При сложении с квадратом суммы x2+18x+81 все члены с иксом уходят, давая в сумме постоянное число 289.
