Представьте в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена:
- а) a4−8a2+16;
- б) −4−4b−b2;
- в) 10x−x2−25;
- г) c4d2+1−2c2d;
- д) a6b2+12a3b+36;
- е) x+1+41x2;
- ж) y−y2−0,25;
- з) 9−m+361m2;
- и) −25−2n−0,04n2.
Краткое решение
а) a4−8a2+16=
=(a2)2−2⋅a2⋅4+42=
=(a2−4)2.
б) −4−4b−b2=
=−(22+4b+b2)=
=−(2+b)2.
в) 10x−x2−25=
=−(x2−10x+25)=
=−(x−5)2.
г) c4d2+1−2c2d=
=(c2d)2−2⋅(c2d)⋅1+12=
=(c2d−1)2.
д) a6b2+12a3b+36=
=(a3b)2+2⋅(a3b)⋅6+62=
=(a3b+6)2.
е) x+1+41x2=
=(21x)2+2⋅21x⋅1+12=
=(21x+1)2.
ж) y−y2−0,25=
=−(y2−2⋅y⋅0,5+0,52)=
=−(y−0,5)2.
з) 9−m+361m2=
=32−2⋅3⋅61m+(61m)2=
=(3−61m)2.
и) −25−2n−0,04n2=
=−(52+2⋅5⋅0,2n+(0,2n)2)=
=−(5+0,2n)2.
Подробное решение
📚 Алгоритм преобразования
Чтобы разложить многочлен по формулам квадрата суммы или разности:
- Выделите два члена, являющихся полными квадратами, и найдите их основания.
- Проверьте, является ли оставшийся член удвоенным произведением этих оснований.
- Если все члены имеют знак «минус», вынесите его за скобки перед началом преобразований.
- Если знаки чередуются как −,+,−, также необходимо вынести минус, чтобы в скобках получить стандартный вид a2−2ab+b2.
Подробный разбор решения
Работа с переменными в степенях
В таких пунктах как а и д важно правильно определить основание квадрата. Например, a4=(a2)2, а a6b2=(a3b)2. При возведении степени в степень показатели перемножаются.
Преобразования с дробями
В пункте з коэффициент 1/36 является квадратом числа 1/6.
Проверяем удвоенное произведение: 2⋅3⋅61m=6⋅61m=m. Это в точности соответствует среднему члену из условия.
Противоположные выражения
Если выражение начинается с минуса (пункты б, в, ж, и), мы преобразуем его в вид −(a±b)2. Это и называется «выражение, противоположное квадрату двучлена».
