Номер 982 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите тождество $(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 a c + 2 b c$ .

Краткое решение

Сгруппируем первые два слагаемых:

(a + b + c)^{2} = ((a + b) + c)^{2} =

= (a + b)^{2} + 2 (a + b) c + c^{2} =

= a^{2} + 2 ab + b^{2} + 2 a c + 2 b c + c^{2} =

= a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 a c + 2 b c .

Тождество доказано.

Правило возведения суммы нескольких слагаемых в квадрат:

Результат содержит сумму квадратов всех слагаемых.
Результат содержит все возможные удвоенные произведения этих слагаемых.
Для доказательства удобно использовать метод группировки, сводя задачу к известной формуле $(x + y)^{2}$ .

Чтобы воспользоваться стандартной формулой квадрата суммы двух выражений, объединим $a$ и $b$ в одну группу:
$((a + b) + c)^{2}$ .

Теперь представим, что $X = (a + b)$ , а $Y = c$ .
Раскрываем по правилу $X^{2} + 2 X Y + Y^{2}$ :
$(a + b)^{2} + 2 (a + b) c + c^{2}$ .

Раскрываем $(a + b)^{2}$ : $a^{2} + 2 ab + b^{2}$ .
Перемножаем $2 c$ на скобку: $2 a c + 2 b c$ .
Собираем всё вместе и записываем в принятом порядке (сначала квадраты, затем произведения):
$a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 a c + 2 b c$ .