Номер 984 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Решите уравнение:

а) $(3 x + 1)^{3} = 27 x^{2} (x + 1) + 8 x + 2$ ;

б) $4 x^{2} (2 x + 9) = (2 x + 3)^{3} + 12 (3 x + 1)$ .

Краткое решение

а) $(3 x + 1)^{3} = 27 x^{2} (x + 1) + 8 x + 2$

27 x^{3} + 3 \cdot 9 x^{2} \cdot 1 + 3 \cdot 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3} = 27 x^{3} + 27 x^{2} + 8 x + 2

27 x^{3} + 27 x^{2} + 9 x - 27 x^{3} - 27 x^{2} - 8 x = 2 - 1

9 x - 8 x = 2 - 1

x = 1

Ответ: $x = 1$ .

б) $4 x^{2} (2 x + 9) = (2 x + 3)^{3} + 12 (3 x + 1)$

8 x^{3} + 36 x^{2} = 8 x^{3} + 3 \cdot 4 x^{2} \cdot 3 + 3 \cdot 2 x \cdot 9 + 27 + 36 x + 12

8 x^{3} + 36 x^{2} = 8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 27 + 36 x + 12

8 x^{3} + 36 x^{2} - 8 x^{3} - 36 x^{2} - 54 x - 36 x = 27 + 12

- 90 x = 39

x = - \frac{39}{90}

x = - \frac{13}{30}

Ответ: $x = - \frac{13}{30}$ .

Подробное решение

📚 Алгоритм решения

Для решения таких уравнений:

Раскройте куб суммы по формуле $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ .
Раскройте скобки с произведениями одночленов на многочлены.
Перенесите все слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую.
Приведите подобные слагаемые. Члены с $x^{3}$ и $x^{2}$ должны взаимно уничтожиться.

Подробный разбор решения

Разбор уравнения а)

1. Возводим левую часть в куб: $(3 x)^{3} + 3 \cdot (3 x)^{2} \cdot 1 + 3 \cdot 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3} = 27 x^{3} + 27 x^{2} + 9 x + 1$ .

2. Раскрываем произведение справа: $27 x^{2} (x + 1) = 27 x^{3} + 27 x^{2}$ .

3. Собираем уравнение и переносим иксы влево. Видим, что старшие степени ( $27 x^{3}$ и $27 x^{2}$ ) сокращаются. Остается простейшее уравнение: $x = 1$ .

Разбор уравнения б)

1. Раскрываем скобки с обеих сторон. Справа используем формулу куба суммы для $(2 x + 3)^{3}$ .

2. После переноса всех членов с $x$ в одну сторону получаем $- 90 x = 39$ .

3. Находим $x$ делением: $39 : (- 90) = - 39/90$ . Обязательно сокращаем дробь на 3, чтобы получить окончательный ответ $- 13/30$ .