Номер 979 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Выражение $(1 + y)^{3} + (1 + y)^{4} + (1 + y)^{5}$ заменили тождественно равным многочленом. Найдите коэффициент члена многочлена, содержащего: а) $y^{2}$ ; б) $y^{3}$ .

Краткое решение

(1 + y)^{3} + (1 + y)^{4} + (1 + y)^{5} =

= 1 + 3 y + 3 y^{2} + y^{3} + 1 + 4 y + 6 y^{2} + 4 y^{3} + y^{4} + 1 + 5 y + 10 y^{2} + 10 y^{3} + 5 y^{4} + y^{5} =

= (1 + 1 + 1) + (3 y + 4 y + 5 y) + (3 y^{2} + 6 y^{2} + 10 y^{2}) + (y^{3} + 4 y^{3} + 10 y^{3}) + (y^{4} + 5 y^{4}) + y^{5} =

= 3 + 12 y + 19 y^{2} + 15 y^{3} + 6 y^{4} + y^{5} .

а) коэффициент при $y^{2}$ равен 19;

б) коэффициент при $y^{3}$ равен 15.

Подробное решение

📚 Правило раскрытия биномов

Чтобы найти искомый коэффициент в сумме выражений:

Раскройте каждую скобку, используя соответствующие строки треугольника Паскаля (для степеней 3, 4 и 5).
Сгруппируйте все слагаемые с одинаковой степенью переменной.
Сложите коэффициенты этих слагаемых — полученное число и будет ответом.

Подробный разбор решения

1. Раскрытие степеней биномов

Распишем каждое слагаемое суммы по формуле бинома:

$(1 + y)^{3} = 1 + 3 y + 3 y^{2} + y^{3}$ ;
$(1 + y)^{4} = 1 + 4 y + 6 y^{2} + 4 y^{3} + y^{4}$ ;
$(1 + y)^{5} = 1 + 5 y + 10 y^{2} + 10 y^{3} + 5 y^{4} + y^{5}$ .

2. Группировка подобных членов

Собираем коэффициенты при нужных степенях $y$ :

Для пункта а): ищем $y^{2}$ . Коэффициенты в скобках равны 3, 6 и 10 соответственно.
Их сумма: $3 + 6 + 10 = 19$ .
Для пункта б): ищем $y^{3}$ . Коэффициенты равны 1, 4 и 10.
Их сумма: $1 + 4 + 10 = 15$ .