Номер 979 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Выражение $(1 + y)^3 + (1 + y)^4 + (1 + y)^5$ заменили тождественно равным многочленом. Найдите коэффициент члена многочлена, содержащего: а) $y^2$ ; б) $y^3$ .

Краткое решение

(1 + y)^3 + (1 + y)^4 + (1 + y)^5 =

= 1 + 3y + 3y^2 + y^3 + 1 + 4y + 6y^2 + 4y^3 + y^4 + 1 + 5y + 10y^2 + 10y^3 + 5y^4 + y^5 =

= (1 + 1 + 1) + (3y + 4y + 5y) + (3y^2 + 6y^2 + 10y^2) + (y^3 + 4y^3 + 10y^3) + (y^4 + 5y^4) + y^5 =

= 3 + 12y + 19y^2 + 15y^3 + 6y^4 + y^5.

а) коэффициент при $y^2$ равен 19;

б) коэффициент при $y^3$ равен 15.

Подробное решение

📚 Правило раскрытия биномов

Чтобы найти искомый коэффициент в сумме выражений:

Раскройте каждую скобку, используя соответствующие строки треугольника Паскаля (для степеней 3, 4 и 5).
Сгруппируйте все слагаемые с одинаковой степенью переменной.
Сложите коэффициенты этих слагаемых — полученное число и будет ответом.

Подробный разбор решения

1. Раскрытие степеней биномов

Распишем каждое слагаемое суммы по формуле бинома:

$(1 + y)^3 = 1 + 3y + 3y^2 + y^3$ ;
$(1 + y)^4 = 1 + 4y + 6y^2 + 4y^3 + y^4$ ;
$(1 + y)^5 = 1 + 5y + 10y^2 + 10y^3 + 5y^4 + y^5$ .

2. Группировка подобных членов

Собираем коэффициенты при нужных степенях $y$ :

Для пункта а): ищем $y^2$ . Коэффициенты в скобках равны 3, 6 и 10 соответственно.
Их сумма: $3 + 6 + 10 = 19$ .
Для пункта б): ищем $y^3$ . Коэффициенты равны 1, 4 и 10.
Их сумма: $1 + 4 + 10 = 15$ .