Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 980

Номер 980 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Какой остаток получится при делении числа 1476147^6 на 145?

Краткое решение

1476=(145+2)6=147^6 = (145 + 2)^6 =
=1456+6⋅1455⋅2+15⋅1454⋅22+20⋅1453⋅23+15⋅1452⋅24+6⋅145⋅25+26== 145^6 + 6 \cdot 145^5 \cdot 2 + 15 \cdot 145^4 \cdot 2^2 + 20 \cdot 145^3 \cdot 2^3 + 15 \cdot 145^2 \cdot 2^4 + 6 \cdot 145 \cdot 2^5 + 2^6 =

Все слагаемые, кроме последнего (262^6), содержат множитель 145 и делятся на него без остатка.

26=64.2^6 = 64.

Так как 64<14564 < 145, число 64 является остатком.

Ответ: 64.

Подробное решение

📚 Нахождение остатка

Чтобы найти остаток от деления степени AnA^n на число BB:

  • Представьте основание AA как сумму B+rB + r.
  • Примените формулу бинома Ньютона. Все члены разложения, кроме последнего (rnr^n), будут кратны BB.
  • Остаток числа AnA^n при делении на BB совпадает с остатком числа rnr^n при делении на BB.

Подробный разбор решения

1. Преобразование основания

Представим число 147 в виде суммы, где одно из слагаемых равно делителю:
147=145+2147 = 145 + 2.
Тогда наше выражение примет вид: (145+2)6(145 + 2)^6.

2. Анализ разложения бинома

Если мы разложим эту степень по формуле бинома Ньютона, мы получим сумму из 7 слагаемых. В каждое из первых 6 слагаемых будет входить число 145 в некоторой степени (от 6 до 1). Это значит, что каждое из этих шести слагаемых делится на 145 нацело.

3. Вычисление остатка

Единственное слагаемое, которое не содержит множителя 145 — это последнее слагаемое 262^6.
Вычислим его значение: 26=642^6 = 64.

Так как 64 меньше делителя (145), оно и будет являться искомым остатком от деления.

💡 Похожие задачи

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...