Номер 986 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарыchev

Представьте в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена:

а) $a^4 - 8a^2 + 16$ ;
б) $-4 - 4b - b^2$ ;
в) $10x - x^2 - 25$ ;
г) $c^4d^2 + 1 - 2c^2d$ ;
д) $a^6b^2 + 12a^3b + 36$ ;

е) $x + 1 + \frac{1}{4}x^2$ ;
ж) $y - y^2 - 0,25$ ;
з) $9 - m + \frac{1}{36}m^2$ ;
и) $-25 - 2n - 0,04n^2$ .

Краткое решение

а) $a^4 - 8a^2 + 16 =$

= (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 4 + 4^2 =

= (a^2 - 4)^2.

б) $-4 - 4b - b^2 =$

= -(2^2 + 4b + b^2) =

= -(2 + b)^2.

в) $10x - x^2 - 25 =$

= -(x^2 - 10x + 25) =

= -(x - 5)^2.

г) $c^4d^2 + 1 - 2c^2d =$

= (c^2d)^2 - 2 \cdot (c^2d) \cdot 1 + 1^2 =

= (c^2d - 1)^2.

д) $a^6b^2 + 12a^3b + 36 =$

= (a^3b)^2 + 2 \cdot (a^3b) \cdot 6 + 6^2 =

= (a^3b + 6)^2.

е) $x + 1 + \frac{1}{4}x^2 =$

= (\frac{1}{2}x)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}x \cdot 1 + 1^2 =

= (\frac{1}{2}x + 1)^2.

ж) $y - y^2 - 0,25 =$

= -(y^2 - 2 \cdot y \cdot 0,5 + 0,5^2) =

= -(y - 0,5)^2.

з) $9 - m + \frac{1}{36}m^2 =$

= 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{6}m + (\frac{1}{6}m)^2 =

= (3 - \frac{1}{6}m)^2.

и) $-25 - 2n - 0,04n^2 =$

= -(5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 0,2n + (0,2n)^2) =

= -(5 + 0,2n)^2.

Подробное решение

📚 Алгоритм преобразования

Чтобы разложить многочлен по формулам квадрата суммы или разности:

Выделите два члена, являющихся полными квадратами, и найдите их основания.
Проверьте, является ли оставшийся член удвоенным произведением этих оснований.
Если все члены имеют знак «минус», вынесите его за скобки перед началом преобразований.
Если знаки чередуются как $-, +, -$ , также необходимо вынести минус, чтобы в скобках получить стандартный вид $a^2 - 2ab + b^2$ .

Подробный разбор решения

Работа с переменными в степенях

В таких пунктах как а и д важно правильно определить основание квадрата. Например, $a^4 = (a^2)^2$ , а $a^6b^2 = (a^3b)^2$ . При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Преобразования с дробями

В пункте з коэффициент $1/36$ является квадратом числа $1/6$ .
Проверяем удвоенное произведение: $2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{6}m = 6 \cdot \frac{1}{6}m = m$ . Это в точности соответствует среднему члену из условия.

Противоположные выражения

Если выражение начинается с минуса (пункты б, в, ж, и), мы преобразуем его в вид $-(a pm b)^2$ . Это и называется «выражение, противоположное квадрату двучлена».