Представьте в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена:
- а) a4−8a2+16;
- б) −4−4b−b2;
- в) 10x−x2−25;
- г) c4d2+1−2c2d;
- д) a6b2+12a3b+36;
- е) x+1+41x2;
- ж) y−y2−0,25;
- з) 9−m+361m2;
- и) −25−2n−0,04n2.
Краткое решение
а) a4−8a2+16=
=(a2)2−2⋅a2⋅4+42= =(a2−4)2. б) −4−4b−b2=
=−(22+4b+b2)= =−(2+b)2. в) 10x−x2−25=
=−(x2−10x+25)= =−(x−5)2. г) c4d2+1−2c2d=
=(c2d)2−2⋅(c2d)⋅1+12= =(c2d−1)2. д) a6b2+12a3b+36=
=(a3b)2+2⋅(a3b)⋅6+62= =(a3b+6)2. е) x+1+41x2=
=(21x)2+2⋅21x⋅1+12= =(21x+1)2. ж) y−y2−0,25=
=−(y2−2⋅y⋅0,5+0,52)= =−(y−0,5)2. з) 9−m+361m2=
=32−2⋅3⋅61m+(61m)2= =(3−61m)2. и) −25−2n−0,04n2=
=−(52+2⋅5⋅0,2n+(0,2n)2)= =−(5+0,2n)2. Подробное решение
📚 Алгоритм преобразования
Чтобы разложить многочлен по формулам квадрата суммы или разности:
- Выделите два члена, являющихся полными квадратами, и найдите их основания.
- Проверьте, является ли оставшийся член удвоенным произведением этих оснований.
- Если все члены имеют знак «минус», вынесите его за скобки перед началом преобразований.
- Если знаки чередуются как −,+,−, также необходимо вынести минус, чтобы в скобках получить стандартный вид a2−2ab+b2.
Подробный разбор решения
Работа с переменными в степенях
В таких пунктах как а и д важно правильно определить основание квадрата. Например, a4=(a2)2, а a6b2=(a3b)2. При возведении степени в степень показатели перемножаются.
Преобразования с дробями
В пункте з коэффициент 1/36 является квадратом числа 1/6.
Проверяем удвоенное произведение: 2⋅3⋅61m=6⋅61m=m. Это в точности соответствует среднему члену из условия.
Противоположные выражения
Если выражение начинается с минуса (пункты б, в, ж, и), мы преобразуем его в вид −(a±b)2. Это и называется «выражение, противоположное квадрату двучлена».
