Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:
- а) (x−8)(x+8)−(x−12)(x+12);
- б) (y−95)(y+95)+(32−y)(32+y).
Краткое решение
а) (x−8)(x+8)−(x−12)(x+12)=x2−64−(x2−144)=x2−64−x2+144=80 б) (y−95)(y+95)+(32−y)(32+y)=y2−8125+94−y2=8136−8125=8111 Подробное решение
📚 Теория: Доказательство тождеств
Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, нужно упростить это выражение. Если в результате получится число (константа), значит, утверждение верно.
Основная формула:
(a−b)(a+b)=a2−b2 Решение пункта а)
Упростим выражение, используя формулу разности квадратов для обеих частей:
1. (x−8)(x+8)=x2−82=x2−64
2. (x−12)(x+12)=x2−122=x2−144
3. Выполним вычитание, учитывая смену знаков перед вторыми скобками:
(x2−64)−(x2−144)=x2−64−x2+144=80 Вывод: Значение выражения равно 80 при любом x, следовательно, оно не зависит от переменной.
Решение пункта б)
Применим формулу к выражениям с дробями:
1. (y−95)(y+95)=y2−(95)2=y2−8125
2. (32−y)(32+y)=(32)2−y2=94−y2
3. Сложим полученные результаты:
y2−8125+94−y2=94−8125 4. Приведем дроби к общему знаменателю 81:
814⋅9−8125=8136−25=8111 Вывод: Значение выражения равно 8111, переменная y сократилась, что и требовалось доказать.
