Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 990

Номер 990 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

Краткое решение

а) (x−8)(x+8)−(x−12)(x+12)=x2−64−(x2−144)=x2−64−x2+144=80\text{а) } (x - 8)(x + 8) - (x - 12)(x + 12) = x^2 - 64 - (x^2 - 144) = x^2 - 64 - x^2 + 144 = 80
б) (y−59)(y+59)+(23−y)(23+y)=y2−2581+49−y2=3681−2581=1181\text{б) } (y - \frac{5}{9})(y + \frac{5}{9}) + (\frac{2}{3} - y)(\frac{2}{3} + y) = y^2 - \frac{25}{81} + \frac{4}{9} - y^2 = \frac{36}{81} - \frac{25}{81} = \frac{11}{81}

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство тождеств

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, нужно упростить это выражение. Если в результате получится число (константа), значит, утверждение верно.
Основная формула:

(a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2

Решение пункта а)

Упростим выражение, используя формулу разности квадратов для обеих частей:

1. (x−8)(x+8)=x2−82=x2−64(x - 8)(x + 8) = x^2 - 8^2 = x^2 - 64

2. (x−12)(x+12)=x2−122=x2−144(x - 12)(x + 12) = x^2 - 12^2 = x^2 - 144

3. Выполним вычитание, учитывая смену знаков перед вторыми скобками:

(x2−64)−(x2−144)=x2−64−x2+144=80(x^2 - 64) - (x^2 - 144) = x^2 - 64 - x^2 + 144 = 80

Вывод: Значение выражения равно 8080 при любом xx, следовательно, оно не зависит от переменной.

Решение пункта б)

Применим формулу к выражениям с дробями:

1. (y−59)(y+59)=y2−(59)2=y2−2581(y - \frac{5}{9})(y + \frac{5}{9}) = y^2 - (\frac{5}{9})^2 = y^2 - \frac{25}{81}

2. (23−y)(23+y)=(23)2−y2=49−y2(\frac{2}{3} - y)(\frac{2}{3} + y) = (\frac{2}{3})^2 - y^2 = \frac{4}{9} - y^2

3. Сложим полученные результаты:

y2−2581+49−y2=49−2581y^2 - \frac{25}{81} + \frac{4}{9} - y^2 = \frac{4}{9} - \frac{25}{81}

4. Приведем дроби к общему знаменателю 8181:

4⋅981−2581=36−2581=1181\frac{4 \cdot 9}{81} - \frac{25}{81} = \frac{36 - 25}{81} = \frac{11}{81}

Вывод: Значение выражения равно 1181\frac{11}{81}, переменная yy сократилась, что и требовалось доказать.

💡 Похожие задачи

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...