Номер 996 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Найдите значение выражения:

а)

\frac{38^2 - 17^2}{72^2 - 16^2}

б)

\frac{39,5^2 - 3,5^2}{57,5^2 - 14,5^2}

в)

\frac{17,5^2 - 9,5^2}{131,5^2 - 3,5^2}

Краткое решение

\text{а) } \frac{38^2 - 17^2}{72^2 - 16^2} = \frac{(38-17)(38+17)}{(72-16)(72+16)} = \frac{21 \cdot 55}{56 \cdot 88} = \frac{3 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 11}{8 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 11} = \frac{15}{64}

\text{б) } \frac{39,5^2 - 3,5^2}{57,5^2 - 14,5^2} = \frac{(39,5-3,5)(39,5+3,5)}{(57,5-14,5)(57,5+14,5)} = \frac{36 \cdot 43}{43 \cdot 72} = \frac{36}{72} = 0,5

\text{в) } \frac{17,5^2 - 9,5^2}{131,5^2 - 3,5^2} = \frac{(17,5-9,5)(17,5+9,5)}{(131,5-3,5)(131,5+3,5)} = \frac{8 \cdot 27}{128 \cdot 135} = \frac{8 \cdot 27}{16 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 27} = \frac{1}{80}

Подробное решение

📚 Теория: Вычисления по формуле

Применение формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ позволяет значительно упростить вычисления в дробях. После разложения числителя и знаменателя на множители, общие множители можно сократить.

Решение пункта а)

1. Разложим числитель и знаменатель по формуле:

\frac{(38 - 17)(38 + 17)}{(72 - 16)(72 + 16)} = \frac{21 \cdot 55}{56 \cdot 88}

2. Представим числа в виде простых множителей для удобства сокращения:

\frac{3 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 11}{8 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 11}

3. Сокращаем на $7$ и на $11$ . Остается:

\frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 8} = \frac{15}{64}

Решение пункта б)

1. Применим формулу к десятичным дробям:

\frac{(39,5 - 3,5)(39,5 + 3,5)}{(57,5 - 14,5)(57,5 + 14,5)} = \frac{36 \cdot 43}{43 \cdot 72}

2. Сокращаем дробь на $43$ :

\frac{36}{72} = \frac{1}{2} = 0,5

Решение пункта в)

1. Выполняем разложение:

\frac{(17,5 - 9,5)(17,5 + 9,5)}{(131,5 - 3,5)(131,5 + 3,5)} = \frac{8 \cdot 27}{128 \cdot 135}

2. Заметим, что $128 = 16 \cdot 8$ , а $135 = 5 \cdot 27$ :

\frac{8 \cdot 27}{16 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 27} = \frac{1}{16 \cdot 5} = \frac{1}{80}