№216. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что:
а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны;
б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.
Дано:
a∥b,c−секущая
а) AD,BC — биссектрисы накрест лежащих углов
б) AE,BF — биссектрисы односторонних углов
Доказать:
а) AD∥BC
б) AE⊥BF
а) Доказательство:
1)∠1 и ∠2−накрест лежащие
a∥b⇒∠1=∠2
2)AD,BC−биссектрисы:
∠3=21∠1,∠4=21∠2⇒∠3=∠4
3)для AD и BC с секущей c углы 3 и 4−накрест лежащие
∠3=∠4⇒AD∥BC
б) Доказательство:
1)∠1 и ∠2−односторонние
a∥b⇒∠1+∠2=180∘
2)AE,BF−биссектрисы:
∠3=21∠1,∠4=21∠2
∠3+∠4=21(∠1+∠2)=21⋅180∘=90∘
3)△ABG, где G=AE∩BF:
∠AGB=180∘−(∠3+∠4)=180∘−90∘=90∘
⇒AE⊥BF
Что и требовалось доказать: а) AD∥BC; б) AE⊥BF.
