№219. Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника ABC и перпендикулярная к AD, пересекает сторону AC в точке M. Докажите, что MD∥AB.
Дано:
△ABC
AD−биссектриса ∠A
AK=KD,MK⊥AD
M∈AC
Доказательство:
1)в △AMK и △DMK:
AK=KD(K−середина AD)
MK−общая сторона
∠AKM=∠DKM=90∘(MK⊥AD)
⇒△AMK=△DMK(по 1-му признаку)
2)⇒AM=MD⇒△AMD−равнобедренный
⇒∠MAD=∠MDA
3)AD−биссектриса⇒∠BAD=∠MAD
⇒∠MDA=∠BAD
4)∠MDA и ∠BAD−накрест лежащие при MD,AB
и секущей AD⇒MD∥AB
Что и требовалось доказать: MD∥AB.
