№287. Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной.
Дано:
прямая a
A и B−по одну сторону от a
AC⊥a,BD⊥a
AC=BD
Доказательство:
1)AC⊥a,BD⊥a⇒AC∥BD
2)проведём AD. В △ACD и △DBA:
AC=BD(по условию),AD−общая сторона
∠CAD=∠BDA(накрест лежащие при AC∥BD и секущей AD)
3)⇒△ACD=△DBA(по двум сторонам и углу между ними)
4)⇒∠DAB=∠ADC
5)это накрест лежащие углы для прямых AB и a при секущей AD
6)⇒AB∥a
Что и требовалось доказать: точки, равноудалённые от прямой и лежащие по одну сторону от неё, лежат на прямой, параллельной данной.
