Номер 101, часть 1 — ГДЗ Вероятность и статистика 7 класс Высоцкий, Ященко

Пусть в наборе $N$ чисел. Частота значения — это число его появлений, делённое на $N$. Если сложить частоты всех значений, не больших $m$, получится (число всех чисел набора, не больших $m$), делённое на $N$ — то есть доля таких чисел в наборе. Значит, нужно доказать: чисел, не больших медианы, в наборе не меньше половины.

Расположим числа набора по возрастанию: $a_1⩽a_2⩽\dots ⩽a_N$. Рассмотрим два случая.

1) $N$ нечётно, $N=2k+1$. Медиана — число, стоящее посередине, то есть $m=a_{k+1}$. Числа $a_1,a_2,\dots ,a_{k+1}$ не больше $m$ — их не меньше $k+1$. Доля таких чисел:

(действительно, $2(k+1)=2k+2>2k+1$).

2) $N$ чётно, $N=2k$. Медиана — среднее двух средних чисел: $m=\frac{a_k+a_{k+1}}{2}$. Так как $a_k⩽a_{k+1}$, то $a_k⩽m$. Тогда числа $a_1,a_2,\dots ,a_k$ не больше $m$ — их не меньше $k$. Доля таких чисел:

В обоих случаях сумма частот чисел, не больших $m$, не меньше $0,5$, что и требовалось показать.

Примеры. Набор 1, 4, 9 ($N=3$): $m=4$, чисел не больше 4 — два, сумма частот $\frac{2}{3}>0,5$. Набор 1, 3 ($N=2$): $m=2$, не больше 2 — одно число, сумма частот ровно $\frac{1}{2}=0,5$ — значит, оценку 0,5 улучшить нельзя.

Аналогично доказывается, что и сумма частот чисел, которые не меньше $m$, тоже не меньше 0,5: медиана делит набор «пополам».