Номер 543 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Дано:

$A BC D$ — параллелограмм.

Точка $M$ симметрична точке $D$ относительно точки $C$ .

Доказать:

$S_{A BC D} = S_{A M D}$ .

Доказательство:

Чертёж к задаче 543 — равенство площадей параллелограмма и треугольника

1) Проведём из вершины $A$ высоту $A H$ к прямой, содержащей сторону $C D$ .

Площадь параллелограмма $A BC D$ равна произведению его стороны (основания) на высоту, проведённую к этой стороне:

S_{A BC D} = C D \cdot A H .

2) Рассмотрим треугольник $A M D$ .

По условию, точка $M$ симметрична точке $D$ относительно точки $C$ . По определению центральной симметрии, это означает, что точка $C$ является серединой отрезка $D M$ , то есть $D C = CM$ .

Следовательно, длина всего основания треугольника $D M$ в два раза больше длины стороны параллелограмма $C D$ :

D M = 2 \cdot C D .

3) Высота треугольника $A M D$ , проведённая из вершины $A$ к основанию $D M$ , совпадает с высотой параллелограмма $A H$ .

Площадь треугольника $A M D$ вычисляется как половина произведения основания на высоту:

S_{A M D} = \frac{1}{2} \cdot D M \cdot A H .

4) Подставим в эту формулу вместо $D M$ выражение $2 \cdot C D$ :

S_{A M D} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot C D) \cdot A H = C D \cdot A H .

5) Сравнивая полученные выражения для площадей, мы видим, что они абсолютно идентичны:

S_{A BC D} = C D \cdot A H

S_{A M D} = C D \cdot A H

Вывод: $S_{A BC D} = S_{A M D}$ . Что и требовалось доказать.

Номер 543 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели