Номер 650 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

№650. Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.

Дано:

$△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$

$B H ⊥ A C, B_{1} H_{1} ⊥ A_{1} C_{1}$

Доказать:

$\frac{A C}{A _{1} C _{1}} = \frac{B H}{B _{1} H _{1}}$

Доказательство:

1) Так как $△ A BC \sim △ A_{1} B_{1} C_{1}$ , то $∠ A = ∠ A_{1}$ и

\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{A C}{A _{1} C _{1}} (1)

2) Прямоугольные треугольники $A B H$ и $A_{1} B_{1} H_{1}$ подобны по двум углам:

∠ A = ∠ A_{1} \Rightarrow △ A B H \sim △ A_{1} B_{1} H_{1}

3) Из подобия следует:

\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{B H}{B _{1} H _{1}} (2)

4) Сравнивая (1) и (2), получаем:

\frac{A C}{A _{1} C _{1}} = \frac{B H}{B _{1} H _{1}}

Ответ: Доказано.