№537. Докажите, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.
Дано:
— ромб.
Прямые и содержат диагонали ромба.
Доказать:
Прямые и — оси симметрии ромба.
Доказательство:
1) Рассмотрим прямую, содержащую диагональ .
По свойству диагоналей ромба, они взаимно перпендикулярны () и точкой пересечения делятся пополам ().
Это означает, что прямая проходит через середину отрезка под прямым углом к нему. То есть прямая является серединным перпендикуляром к отрезку .
2) По определению осевой симметрии, точки, лежащие на перпендикуляре по разные стороны от оси на равном расстоянии, симметричны друг другу.
Следовательно, точки и симметричны относительно прямой .
3) Вершины и лежат на самой прямой , поэтому при осевой симметрии относительно этой прямой они переходят сами в себя.
Так как при симметрии относительно прямой вершины ромба переходят в вершины этого же ромба (точки и меняются местами, и остаются на месте), фигура полностью отображается сама на себя.
Следовательно, прямая — ось симметрии ромба.
4) Аналогично рассмотрим прямую, содержащую диагональ .
Она перпендикулярна отрезку и проходит через его середину ().
Следовательно, прямая является серединным перпендикуляром к отрезку .
5) Точки и симметричны относительно прямой , а вершины и лежат на оси и переходят сами в себя.
Фигура снова переходит сама в себя. Значит, прямая — также ось симметрии ромба.
Вывод: Прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии. Что и требовалось доказать.
