Номер 535 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Доказательство:

1) Продлим боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $E$.

Рассмотрим большой треугольник $AED$. По условию сумма углов при основании равна $90^{\circ }$ ($\angle A+\angle D=90^{\circ }$).

Сумма всех углов треугольника равна $180^{\circ }$, поэтому найдём третий угол $E$:

Значит, треугольник $AED$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $E$.

2) Точка $N$ является серединой гипотенузы $AD$ большого прямоугольного треугольника $AED$.

Отрезок $EN$ — это медиана, проведённая к гипотенузе. По свойству прямоугольного треугольника, медиана равна половине гипотенузы:

3) Теперь рассмотрим верхний треугольник $BEC$. Так как основания трапеции параллельны ($BC\parallel AD$), этот треугольник подобен большому треугольнику $AED$.

Следовательно, он также прямоугольный ($\angle BEC=90^{\circ }$).

Точка $M$ — середина гипотенузы $BC$ этого треугольника. Аналогично пункту 2, отрезок $EM$ является медианой, поэтому:

4) Важный геометрический факт: в любой трапеции прямая, проходящая через точку пересечения продолжений боковых сторон и середину одного из оснований, проходит также и через середину другого основания.

Поэтому точки $E$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой.

5) Длина искомого отрезка $MN$ равна разности длин отрезков $EN$ и $EM$ (так как они лежат на одной прямой):

Подставим найденные ранее выражения для $EN$ и $EM$: