Номер 539 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Решение:

1) Проведём между параллельными прямыми $a$ и $b$ третью прямую $m$, которая будет параллельна им ($m\parallel a\parallel b$) и будет находиться строго посередине между ними.

Это означает, что перпендикуляры, опущенные из любой точки прямой $a$ на прямую $m$, равны перпендикулярам, опущенным из любой точки прямой $b$ на прямую $m$.

2) Возьмём на этой прямой $m$ абсолютно любую, произвольную точку $O$.

Выберем на верхней прямой $a$ любую точку $A$ и проведём через неё и центр $O$ прямую.

Она пересечёт нижнюю прямую $b$ в некоторой точке $A_1$.

3) Так как прямая $m$ параллельна прямым $a$ и $b$ и проходит ровно посередине между ними, то по теореме Фалеса (или из подобия прямоугольных треугольников, образованных перпендикулярами) отрезки $AO$ и $O{A}_1$ равны.

4) Равенство этих отрезков означает, что точка $A_1$ симметрична точке $A$ относительно центра $O$.

Поскольку мы брали произвольную точку $A$ на прямой $a$, то любая точка прямой $a$ симметрична некоторой точке прямой $b$ относительно центра $O$.

Следовательно, при центральной симметрии с центром $O$ вся прямая $a$ перейдёт в прямую $b$ (а прямая $b$ — в прямую $a$). Пара прямых $a$ и $b$ отобразится сама на себя, значит точка $O$ — центр симметрии этой пары прямых.

5) Вспомним, что точка $O$ была выбрана на прямой $m$ абсолютно произвольно! Следовательно, любая точка серединной прямой $m$ является центром симметрии.