Номер 534 — ГДЗ Геометрия 8 класс Атанасян

Решение:

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$ (по условию диагональ $AC\perp CD$).

Мы знаем, что в нём $\angle D=60^{\circ }$. Найдём второй острый угол:

2) По условию задачи диагональ $AC$ делит угол $A$ пополам ($\angle BAC=\angle CAD$). Следовательно:

Тогда весь угол $\angle A$ трапеции равен $30^{\circ }+30^{\circ }=60^{\circ }$.

Так как $\angle A=\angle D=60^{\circ }$ (углы при большем основании равны), то трапеция $ABCD$ — равнобедренная, значит её боковые стороны равны: $AB=CD$.

3) Вспомним, что основания трапеции параллельны ($BC\parallel AD$). При пересечении их секущей $AC$, накрест лежащие углы равны:

4) Рассмотрим треугольник $ABC$. Мы выяснили, что:

Углы при основании $AC$ равны, значит треугольник $ABC$ — равнобедренный, и его стороны равны:

Объединяя с пунктом 2, получаем, что три стороны трапеции равны между собой:

5) Вернёмся к прямоугольному треугольнику $ACD$. Мы помним, что катет, лежащий против угла в $30^{\circ }$ (угол $CAD$), равен половине гипотенузы.

Катет — это $CD$, а гипотенуза — это $AD$. Значит:

6) Периметр трапеции — это сумма всех её сторон. Запишем периметр, выразив все стороны через $CD$:

По условию периметр равен $20\text{ см}$. Получаем уравнение:

7) Осталось найти большее основание $AD$: